Greatest Common Divisor

最大公约数(GCD, Greatest Common Divisor)

常用的方法为辗转相除法，也称为欧几里得算法。不妨设函数gcd(a, b)是自然是a, b的最大公约数，不妨设a > b, 则有 a=b×p+qa =b×p+q, 那么对于gcd(b, q)则是b和q的最大公约数，也就是说gcd(b, q)既能整除b, 又能整除a(因为 a=b×p+qa =b×p+q, p是整数)，如此反复最后得到gcd(a, b) = gcd(c, 0), 第二个数为0时直接返回c. 如果最开始a < b, 那么gcd(b, a % b) = gcd(b, a) = gcd(a, b % a).

关于时间复杂度的证明：可以分a > b/2和a < b/2证明，对数级别的时间复杂度，过程略。

与最大公约数相关的还有最小公倍数(LCM, Lowest Common Multiple), 它们两者之间的关系为 lcm(a,b)×gcd(a,b)= |ab|lcm(a,b)×gcd(a,b)=∣ab∣.

public static long gcd(long a, long b) {
    return (b == 0) ? a : gcd(b, a % b);
}

Problem

给定平面上两个坐标 P1=(x1, y1), P2=(x2,y2), 问线段 P1P2 上除 P1, P2以外还有几个整数坐标点？

Solution

问的是线段 P1P2, 故除 P1,P2以外的坐标需在 x1,x2,y1,y2范围之内，且不包含端点。在两端点不重合的前提下有：

y−y1x−x1=x2−x1y2−y1那么若得知 M=gcd(x2−x1,y2−y1)M = gcd(x_2 - x_1, y_2 - y_1)M=gcd(x2−x1,y2−y1), 则有 x−x1x - x_1x−x1 必为 x2−x1/Mx_2 - x_1 / Mx2−x1/M 的整数倍大小，又因为 x1<x<x2 x_1 < x < x_2x1<x<x2, 故最多有 M−1M - 1M−1个整数坐标点。

扩展欧几里得算法

求解整系数 x 和 y 满足 d=gcd(a,b)=ax+byd = gcd(a, b) = ax + byd=gcd(a,b)=ax+by, 仿照欧几里得算法，应该要寻找 gcd(b,a%b)=bx′+(a%b)y′gcd(b, a % b) = bx′+(a%b)y′.

public class Solution {
    public static int gcd(int a, int b) {
        return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
    }

    public static int[] gcdExt(int a, int b) {
        if (b == 0) {
            return new int[] {a, 1, 0};
        } else {
            int[] vals = gcdExt(b, a % b);
            int d = vals[0];
            int x = vals[2];
            int y = vals[1];
            y -= (a / b) * x;//减去偏移量
            return new int[] {d, x, y};
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        int a = 4, b = 11;
        int[] result = gcdExt(a, b);
        System.out.printf("d = %d, x = %d, y = %d.
", result[0], result[1], result[2]);
    }
}