矩阵的话还是慢慢来，前面的定义和基本运算很显然，看完定义就会，从矩阵乘法开始就难多了。
定义
由(n imes m)个数(a_ij)排成的(n)行(m)列的矩阵，记为
[A=egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ··· & a_{1m} \ a_{21} & a_{22} & ··· & a_{2m} \ a_{31} & a_{32} & ··· & a_{3m} \ ··· & ··· & & ··· \ a_{m1} & a_{m2} & ··· & a_{nm} \ end{bmatrix}
]
这(n imes m)个数称为矩阵(A)的元素，简称为元。数(a_{ij})位于矩阵(A)的第(i)行第(j)列，称为矩阵(A)的((i,j))元，以数(a_{ij})为((i,j))元的矩阵可以记为(a_{ij})或((a_{ij}){n imes m})，(n imes m)矩阵(A)也记作(A_{nm})。
元素是实数的矩阵称为实矩阵；
元素是复数的矩阵称为复矩阵；
行与列都等于(n)的矩阵称为(n)阶矩阵或(n)阶方阵；
(n)阶方阵中所有(i=j)的元素(a_{ij})组成的斜线称为（主）对角线
所有(i+j=n+1)的元素(a_{ij})组成的斜线称为辅对角线。
基本运算：
矩阵的基本运算包括加法，减法，数乘， 共轭和共轭转置等。
加法与减法
对于两个同类型（行列数一样）的矩阵(A)和(B)，加法就是把对应((i,j))元做加法运算 $$egin{bmatrix}1 & 2 & 3 3 & 0 &4end{bmatrix}+egin{bmatrix}2 & 3 & 3 4 & 6 &1end{bmatrix} = egin{bmatrix}1+2 & 2+3 & 3+3 3+4 & 0+6 &4+1end{bmatrix} = egin{bmatrix}3 & 5 & 6 7 & 6 &5end{bmatrix}$$
矩阵加法满足加法交换律和加法结合律
[A+B=B+A
]
[A+(B+C)=(A+B)+C
]
减法的运算与加法向类似
[egin{bmatrix}1 & 2 & 3 \3 & 0 &4end{bmatrix}-egin{bmatrix}2 & 3 & 3 \4 & 6 &1end{bmatrix} = egin{bmatrix}1-2 & 2-3 & 3-3 \3-4 & 0-6 &4-1end{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 & -1 & 0 \-1 & -6 &3end{bmatrix}
]
数乘
数乘就是一个数乘一个矩阵，只需要把这个数乘到每一个元((i,j))上
[2 imes egin{bmatrix}1 & 0 & -2 \3 & -3 &4end{bmatrix} = egin{bmatrix}1 imes 2 & 0 imes 2 & -2 imes 2 \3 imes 2 & -3 imes 2 &4 imes 2end{bmatrix} = egin{bmatrix}2 & 0 & -4 \6 & -6 &8end{bmatrix}
]
矩阵的数乘运算满足乘法的交换律，结合律，分配率
[(lambda mu)A = lambda(mu A)
]
[(lambda+mu)A=lambda A+mu A
]
[lambda(A+B) = lambda A + lambda B
]
乘法的加减法及数乘合称为矩阵的"线性"运算
转置
把矩阵(A)的行换成同序数的列得到的新的矩阵称为(A)的转置矩阵，这一过程称为矩阵的转置，简单说，就是把((i,j))元的(i)和(j)换一换，把(a_{ij})变成(a_{ji}) $$egin{bmatrix}1 & 0 & -2 3 & -3 &4end{bmatrix}^T=egin{bmatrix}1 & 3 0 &-3-2&4end{bmatrix}$$
矩阵的转置满足以下运算律
(i)和(j)交换了两次又变回了原来的样子
[(A^T)^T = A
]
剩下两个无非是先转再乘和先乘再转的区别，显然
[(lambda A)^T = lambda A^T
]
[(AB)^T=A^TB^T
]
共轭和共轭转置是在复矩阵上的，暂时还不研究
矩阵的乘法运算
上面的还比较简单，但到了矩阵乘法，一切都变了。
定义
两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵(A)的列数和另一个矩阵B的行数相等时才能定义。如(A)是(m×n)矩阵和(B)是(n×p)矩阵，它们的乘积(C)是一个(m×p)矩阵(C=(c_{ij}))，它的一个元素： $$c_{i,j} = a_{i,1}b_{1,j}+a_{i,2}b{2,j}+···+a_{i,n}b_{n,j} = sum_{r=1}^na_{i,r}b_{r,j}$$
并将此乘积记为(C=AB) 例如：
[egin{bmatrix}1 & 2 & 3 \3 & 0 &4end{bmatrix} imes egin{bmatrix}2 & 3\1 & 4\1 & 2end{bmatrix} $$ $$= egin{bmatrix}(1 imes 2+ 2 imes 1+3 imes 1) & (1 imes 3+2 imes 4+3 imes 2)\(3 imes 2+0 imes 1+4 imes 1)& (1 imes 3+0 imes 4+4 imes 2)end{bmatrix} = egin{bmatrix}7&17\10 & 17 end{bmatrix}
]
满足结合律，左分配律，右分配律
[A(BC)=(AB)C
]
[(A+B)C=AC+BC
]
[C(A+B)=CB+CA
]
但不满足交换律。
定义说完了，
why？
定义说完了，还是没懂，为什么是这么个规则？
矩阵的本质是线性方程，两者一一对应。
给出一组线性方程
[egin{cases}
3x+4y=5\
2x+3y=3
end{cases}
]
矩阵本来就是想为线性方程提供一个简单的表达形式
[egin{bmatrix}3&4\2&3end{bmatrix}egin{bmatrix}x\yend{bmatrix}=egin{bmatrix}5\3end{bmatrix}
]
这样就差不多能看出矩阵乘法的规则了。
严格些说，对于三组未知数，(x)，(y)，(z)
(x)和(y)的关系
[egin{cases}
a_{11}x_1+a_{12}x_2=y_1\
a_{21}x_1+a_{22}x_2=y_2
end{cases}]
得到
[egin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}end{bmatrix}egin{bmatrix}x_1\x_2end{bmatrix}=egin{bmatrix}y_1\y_2end{bmatrix}
]
(x)和(z)的关系
[egin{cases}
b_{11}z_1+b_{12}z_2=x_1\
b_{21}z_1+b_{22}z_2=x_2
end{cases}]
得到
[egin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\b_{21}&b_{22}end{bmatrix}egin{bmatrix}t_1\t_2end{bmatrix}=egin{bmatrix}x_1\x_2end{bmatrix}
]
这样就可以得到(z)和(y)的关系
[egin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}end{bmatrix}egin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\b_{21}&b_{22}end{bmatrix}egin{bmatrix}z_1\z_2end{bmatrix}=egin{bmatrix}y_1\y_2end{bmatrix}
]
[egin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}end{bmatrix}egin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\b_{21}&b_{22}end{bmatrix} = egin{bmatrix}y_1\y_2end{bmatrix}div egin{bmatrix}z_1\z_2end{bmatrix}
]
写到方程中就是
[egin{cases}
a_{11}(b_{11}z_1+b_{12}z_2)+a_{12}(b_{21}z_1+b_{22}z_2)=y_1\
a_{21}(b_{11}z_1+b_{12}z_2)+a_{22}(b_{21}z_1+b_{22}z_2)=y_2
end{cases}]
整理一下
[egin{cases}
(a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21})z_1+(a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22})z_2=y_1\
(a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21})z_1+(a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22})z_2=y_2
end{cases}]
[==>egin{bmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22}\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22}end{bmatrix}egin{bmatrix}z_1\z_2end{bmatrix}=egin{bmatrix}y_1\y_2end{bmatrix}
]
[==>egin{bmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22}\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22}end{bmatrix}=egin{bmatrix}y_1\y_2end{bmatrix}div egin{bmatrix}z_1\z_2end{bmatrix}
]
[==>egin{bmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22}\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22}end{bmatrix}=egin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}end{bmatrix}egin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\b_{21}&b_{22}end{bmatrix}
]
得到矩阵乘法的表达式。