跳蚤 BZOJ 4310

跳蚤

【问题描述】

很久很久以前，森林里住着一群跳蚤。一天，跳蚤国王得到了一个神秘的字符串，它想进行研究。

首先，他会把串分成不超过 k 个子串，然后对于每个子串 S，他会从S的所有子串中选择字典序最大的那一个，并在选出来的 k 个子串中选择字典序最大的那一个。他称其为“魔力串”。

现在他想找一个最优的分法让“魔力串”字典序最小。

【输入格式】

第一行一个整数 k。接下来一个长度不超过 105 的字符串 S。

【输出格式】

输出一行，表示字典序最小的“魔力串”。

【样例输入】

13
bcbcbacbbbbbabbacbcbacbbababaabbbaabacacbbbccaccbcaabcacbacbcabaacbccbbcbcbacccbcccbbcaacabacaaaaaba

【样例输出】

cbc

【数据范围】

S的长度<=100000

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题解：

首先我们通过后缀数组可以知道原串本质不同的子串(长得不一样的子串)个数为∑(n + 1 - height[i] - sa[i]) （实际上就是后缀的长度（长度即为后缀的子串个数）减去重复的个数，实例看下图）

顺便结合RMQ求个lcp（最长公共前缀）

那么在这些子串上二分

当我们二分出排名时，找出对应的子串

举个例子：

ababa

排名后缀及对应子串：

a           a                                 5 + 1 - 0 - 5 = 1

aba       a ab aba                      5 + 1 - 2 - 3 = 1

ababa   a ab aba abab ababa    5 + 1 - 3 - 1 = 2

ba         b ba                            5 + 1 - 0 - 4 = 2

baba     b ba bab baba             5 + 1 - 2 - 2 = 2

那么我们只要一个个后缀枚举过去，就能找出对应排名的字符串，这也能解释本质不同的子串个数

合法答案肯定是以串中最大字符开头的，将这个情况加入判断

然后贪心，当当前分出的段未大于枚举出的子串时，继续增添字符，不然将其作为分出的一段

判断段数与要求段数的大小，继续二分

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<map>
using namespace std;
const int me = 1000233;
int k;
int n;
int ansl;
int ansr;

int w[me];
int x[me];
int sa[me];
int he[me];
int rank[me];

int lg[me];
int f[23][me];

char s[me];
inline void Sa()
{
    int m = 26;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) ++w[x[i] = s[i] - 'a' + 1];
    for(int i = 1; i <= m; ++i) w[i] += w[i - 1];
    for(int i = n; i >= 1; --i) sa[w[x[i]]--] = i;
    for(int k = 1; k <= n; k <<= 1)
    {
        int t = 0;
        for(int i = n; i >= n - k + 1; --i) rank[++t] = i;
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            if(sa[i] > k)
                rank[++t] = sa[i] - k;
        for(int i = 1; i <= m; ++i) w[i] = 0;
        for(int i = 1; i <= n; ++i) ++w[x[i]];
        for(int i = 1; i <= m; ++i) w[i] += w[i - 1];
        for(int i = n; i >= 1; --i) sa[w[x[rank[i]]]--] = rank[i];
        m = 0;
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            int u = sa[i], v = sa[i - 1];
            if (x[u] != x[v] || x[u + k] != x[v + k]) rank[u] = ++m;
            else rank[u] = m;
        }
        if (n == m) break;
        for(int i = 1; i <= n; ++i) swap(x[i], rank[i]);
    }
    int tot = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        if(tot) --tot;
        int e = sa[rank[i] - 1];
        while (s[e + tot] == s[i + tot]) ++tot;
        he[rank[i]] = tot;
    }
}
inline void Log()
{
    lg[1] = 0;
    for(int i = 2; i <= n; ++i)
        lg[i] = (i == (i & (-i))) ? lg[i - 1] + 1 : lg[i - 1];
}
inline void Rmq()
{
    for(int i = 1; i <= n; ++i) f[0][i] = he[i];
    for(int i = 1; i <= lg[n]; ++i)
        for(int j = 1; j <= n; ++j)
            f[i][j] = min(f[i - 1][j], f[i - 1][j + (1 << (i - 1))]);
}
inline void Get(const long long &mi, int &u, int &v)
{
    long long e, pre;
    e = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        pre = e;
          e += n + 1 - he[i] - sa[i];
        if (e >= mi)
        {
            u = sa[i];
            v = sa[i] + mi - pre + he[i] - 1;
            return;
        }
    }
}
inline int Lcp(const int &x, const int &y)
{
    if (x == y) return n - x;
    int a = rank[x], b = rank[y];
    if (a > b) swap(a, b);
    int e = lg[b - a];
    return min(f[e][a + 1], f[e][b - (1 << e) + 1]); 
}
inline bool Com(const int &l1, const int &r1, const int &l2, const int &r2)
{  
    int len1 = r1 - l1 + 1, len2 = r2 - l2 + 1, lcp = Lcp(l1, l2);
    if (len1 <= len2 && lcp >= len1) return true;
    if (len1 > len2 && lcp >= len2) return false;
    if (lcp >= len1 && lcp >= len2) return len1 <= len2;
    return s[l1 + lcp] <= s[l2 + lcp];
}
inline bool Check(const long long &mi, int &u, int &v)
{
    Get(mi, u, v);
    int num = 0, last = n;
    for(int i = n; i >= 1; --i)
    {
        if (s[u] < s[i]) return false;
        if (!Com(i, last, u, v)) ++num, last = i;
          if (num >= k) return false;
    }
    return true;
}
inline void Two()
{
    long  long l, r, mi;
    int u, v;
    l = 1;
    r = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) r += n + 1 - sa[i] - he[i];
    while(l <= r)
    {
        mi = (l + r) >> 1;
        if(Check(mi, u, v))
        {
            ansl = u;
            ansr = v;
            r = mi - 1;
        }
        else l = mi + 1;
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%s", &k, s+1);
    n = strlen(s+1);
    Sa();
    Log();
    Rmq();
    Two();
    for(int i = ansl; i <= ansr; ++i) printf("%c", s[i]);
}