首先反思一下， 昨天做1.14的时候犯了一个严重错误。思维定式了，导致花了非常多无用功。
1.14的关键是要想到2个物理意义。 一个是广度优先， 也就是仅仅考虑问题递归树的第一层子数。那么必定有公式
F(n,m) = F(n- c1, m) + ... + F(n-cm, m) + 1 c1..cm为货币价值, m为货币树。
利用这个公式，我们非常easy用数学归纳法证明存在一个參数C1，满足F(n,m) > C1 * n的m次方。
可是，利用这个公式，我们是无法证明存在一个參数C2。满足F(n。m) < C2 * n的m次方。
根本原因是犯了数学竞赛中不等式证明的常规错误。 如果条件太宽了。
这样，就必须考虑第二个物理意义。 有第一种货币，和没第一种货币 2种集合。
基于如果，我们能够设定第一种货币的价值为1。且为最小货币。
这样就得到了一个不同于上面广度优先的深度遍历公式。
F(n，m) = n + F(n , m -1) +F(n -1, m-1) + ...+ F(0, m- 1) 分别相应第一种货币选择 0次，1次，..., n次
由这个公式，我们是非常easy证明上界的。 但要用这个公式证明下界， 则非常难。
1.16-1.19主要是讲怎样对数次求一个数的幂次方。
坦率的说。 书本的解说不是那么让人easy理解。
假设我们考虑二进制， 则问题就非常easy了。
如果b为5。 则2进制为 101, a的5次方则为 (1) * a 的四次方 * (什么也不做) * a
那么， 问题就非常明确了， 无论是迭代还是递归，干的都是一个事情， 从低位開始求b的二进制， 假设为1， 则做乘法。0就无视。
每次将base平方。
这4道题。 用后面的高阶函数来看的话，本质都是一样的。他们仅仅有算子的区别。
即F函数的n次方， 等价于将n转化为2进制， 依次求f函数的平方运算。
关于Fib数列。 书本的题目过于数学化， 我们换一个形式， 用数学工具矩阵来描写叙述就非常明确了。
列矩阵[Fn+1 Fn] = 矩阵A * 列矩阵Fn Fn-1]
矩阵A为 2 * 2的矩阵 [1 1
1 0]
求Fib数列就转化为求A矩阵的n次方了。
个人參考解答例如以下：
1.16
(define (expt b n)
(define (even? n)
(= (remainder n 2) 0))
(define (square x) (* x x))
(define (improve x)
(if (even? x)
(/ x 2)
(/ (- x 1) 2)))
(define (fast-expt-iter b counter product)
(if (= counter 0)
product
(if (even?
counter)
(fast-expt-iter (square b) (improve counter) product)
(fast-expt-iter (square b) (improve counter) (* product b)))))
(fast-expt-iter b n 1.0))
1.17
(define (mult-new a b)
(define (even? b)
(= (remainder b 2) 0))
(define (double x) (+ x x))
(define (halve x)
(/ x 2))
(define (fast-mult-new a b)
(cond ((= b 0) 0)
((even? b) (double (fast-mult-new a (halve b))))
(else (+ a (fast-mult-new a (- b 1))))))
(fast-mult-new a b))
1.18
(define (mult-new a b)
(define (even?
b)
(= (remainder b 2) 0))
(define (double x) (+ x x))
(define (halve x) (/ x 2))
(define (improve x)
(if (even?
x)
(halve x)
(halve (- x 1))))
(define (fast-mult-iter a counter product)
(if (= counter 0)
product
(if (even? counter)
(fast-mult-iter (double a) (improve counter) product)
(fast-mult-iter (double a) (improve counter) (+ product a)))))
(fast-mult-iter a b 0.0))
1.19
p' = p^2 + q^2
q' = 2*p*q + q^2
(define (fib n)
(define (calc-p p q)
(+ (* p p)
(* q q)))
(define (calc-q p q)
(+ (* 2 p q)
(* q q)))
(define (fib-iter a b p q count)
(cond ((= count 0) b)
((even? count)
(fib-iter a
b
(calc-p p q)
(calc-q p q)
(/ count 2)))
(else (fib-iter (+ (* b q) (* a q) (* a p))
(+ (* b p) (* a q))
p
q
(- count 1)))))
(fib-iter 1 0 0 1 n))