汕头市队赛 SRM 08 C

C-3 SRM 08

描述

给一个图，n 个点 m 条双向边，每条边有其长度。n 个点中有 k 个是特殊点，问任意两个特殊点的最短路是多少。

输入格式

第一行三个整数 n m k

第二行 k 个整数 ，为各个特殊点

接下来 m 行，每行三个整数 x y d，表示 x 到 y 有一条长度为 d 的边

输出格式

一个整数

样例输入

5 5 3
1 3 5
1 2 3
2 3 4
3 4 1
4 5 8
1 5 19

样例输出

7

数据范围与约定

• 图为联通图
• 
• 
• 
• 
• 

样例解释

样例中，1-3 的最短路为 7，3-5 的最短路为 9，1-5 的最短路为 16，因此答案为最小值 7

这道题对我来说有点难啊 想了半天只会跑k-1次最短路 最后在大爷的帮助下还是写出来了 果然自己还是过于蒟蒻QAQ

这道题呢 我的写法是 将所有的关键点以0作为初始距离 扔进优先队列里面 跑一遍Dijkstra 

 记录每个点最近的关键点以及到关键点的距离（dis）

最后枚举边 如果两端的点的最近关键点不一样就更新一波答案

下面证明写法的正确性

我们在跑最短路的时候顺便记录一下每个点是从哪个点扩展来的

首先显然答案不可能比真实的答案偏小 所以证明如果答案存在 则一定能找到

设一个最优解a——b——c——d，a,d为关键点，

1. dis(a,b)<=dis(a,d)/2

2. dis(c,d)<=dis(a,d)/2

（证明b,c之间有边）

如果因为等距离的问题 b,c 的最近关键点不是 a,d, 那么只要 b,c 的最近关键点不同，仍可得到答案

如果 b,c 的最近关键点相同 设这个点为x，那么令 x!=a 

那么 dis(a,x)=dis(a,b)+dis(b,x)<=dis(a,b)+dis(b,c)+dis(c,x)=dis(a,b)+dis(b,c)+dis(c,d)

可见 a——b——x 不比 a——b——c——d 差，

如果两个都是最优解 那么由于dis(a,b)==dis(b,x)==dis(a,d)/2

设 a到b路径上最靠近b的点为 e 则dis(e,a)<dus(a,b)=dis(b,x)

所以e的最近关键点不会是x ， 那么 （e的最近关键点）——e——b————x这条路同上面两条一样是另一个最优解 且能由e-b更新

证毕

然后就贴一波代码咯 2333

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
const int M=1e5+7,inf=1e9+7;
int read(){
    int ans=0,f=1,c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') f=-1; c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){ans=ans*10+(c-'0'); c=getchar();}
    return ans*f;
}
int n,m,k,p[M],dis[M],blong[M];
int cnt,first[M],ans=inf,h[M];
struct note{int to,from,next,w;}e[7*M];
void ins(int a,int b,int w){cnt++; e[cnt].to=b; e[cnt].from=a; e[cnt].next=first[a]; e[cnt].w=w; first[a]=cnt;}
void insert(int a,int b,int w){ins(a,b,w); ins(b,a,w);}
struct node{
    int d,pos;
    bool operator <(const node& x)const{return x.d<d;}
};
priority_queue<node>q;
void dj(){
    for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=inf;
    for(int i=1;i<=k;i++){
        int now=p[i];
        blong[now]=now; dis[now]=0;
        q.push((node){0,now});
    }
    while(!q.empty()){
        node y=q.top(); q.pop();
        int x=y.pos;
        if(y.d>dis[x]) continue;
        for(int i=first[x];i;i=e[i].next){
            int now=e[i].to;
            if(dis[now]>dis[x]+e[i].w){
                dis[now]=dis[x]+e[i].w;
                blong[now]=blong[x];
                q.push((node){dis[now],now});
            }
        }
    }
}
int main()
{
    int x,y,w;
    n=read(); m=read(); k=read();
    for(int i=1;i<=k;i++) p[i]=read(),h[p[i]]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        x=read(); y=read(); w=read();
        insert(x,y,w); if(h[x]&&h[y]) ans=min(ans,w);
    }//printf("%d
",ans);
    dj();
    for(int i=1;i<=cnt;i+=2) 
     if((!h[e[i].to]||!h[e[i].from])&&blong[e[i].from]!=blong[e[i].to]) 
      ans=min(ans,dis[e[i].from]+dis[e[i].to]+e[i].w);
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}