洛谷T8116 密码

T8116 密码

题目描述

YJC把核弹发射密码忘掉了……其实是密码被加密了，但是YJC不会解密。密码由n个数字组成，第i个数字被加密成了如下形式：第k小的满足(2^L)|(P-1)且P为质数的P。YJC希望你能帮他算出密码是多少。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含一个整数n，表示密码中的数字个数。

接下来n行每行两个整数L和k，表示一个数字的加密形式。

注意，输入格式变更，请注意L和k的先后顺序

输出格式：

输出n行，第i行一个整数，表示第i个数字。

输入输出样例

输入样例#1：

2
21 92
23 9

输出样例#1：

1998585857
998244353

说明

对于50%的数据，满足18≤n,L≤1000。

对于100%的数据，满足12≤n,L≤500000，保证答案<2^31。

又是一道比赛写挂的题 发现自己比赛码代码很弱啊 这样可不行啊QAQ

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讲一下这道题怎么写吧 首先我们并不需要找出1——2^31-1中的全部素数

因为我们发现我们需要的只是满足k*2^12+1的数就好了 所以我们可以在等差数列上筛质数

先弄出sqrt(末项)以内的质数 （为什么只要到sqrt这个很好证明吧）对每个质数，求出在等差数列上第一个整除位置，以及第二个 然后依次处理

那么要怎么做到在等差数列上筛呢 

那么 我们的目标是找出质数p，求哪些a满足(4096a+1)%p==0对吧

4096a+1)%p==0
设4096a+1==kp
则(kp-1)%4096==0
即kp==1(mod 4096)
即k==p^(-1) (mod 4096)
于是k是(p模4096的逆元)+4096t，t为整数
为了4096a+1最小，直接取逆元
有了最小解，又gcd(p,4096)==1

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这里证明一下gcd(p,4096)==1

4096x+1=pk
pk-4096x=1
当gcd(p,4096)==1时有解

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所以次小解=最小解+4096*p，以此类推然后就能筛完辣 

剩下的都是满足（p-1）%2^12==0的辣

然后在2^12次方的基础上就能推出剩下的13——31的答案了

然后讲一下一些细节吧

qmod(i,2047,4096)这里是求质数i的逆元 qmod是快速幂 取最小正数解

至于为什么是i^2017%4096是因为

a^(-1)%b == a^(phi(p)-1)%p

而phi(4096)-1=2047

ed[i]表示4096*i+1是否已经被筛掉了 这里ed数组要开起码mx

至于mx怎么来的 2^31/2^12就是辣

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<ctime>
#define un unsigned int
using namespace std;
const int mx=524288;
un read(){
    int ans=0,f=1,c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') f=-1; c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){ans=ans*10+(c-'0'); c=getchar();}
    return ans*f;
}
un n,k,l;
un cnt[35],num[35][100007];
un w[35],f[50007],ed[555555];
un qmod(int a,int b,int c){
    un ans=1;
    while(b){
        if(b&1) ans=ans*a%c;
        b>>=1; a=a*a%c;
    }
    return ans;
}
void prepare(){
    w[0]=1; for(un i=1;i<=31;i++) w[i]=w[i-1]*2;
    for(un i=2;i<=50000;i++) if(!f[i]){
        for(un j=i*2;j<=50000;j+=i) f[j]=1;
        if(i==2) continue;
        if(i%4096==1) num[12][++cnt[12]]=i;
        for(un x=i*qmod(i,2047,4096)/4096;x<mx;x+=i) ed[x]=1;
    }
    for(int i=1;i<mx;++i) if(!ed[i]) num[12][++cnt[12]]=i*4096+1;
    for(un k=13;k<=31;k++)
     for(un i=1;i<=cnt[12];i++)
      if((num[12][i]-1)%w[k]==0) num[k][++cnt[k]]=num[12][i];
}
int main()
{
    prepare();
    n=read();
    for(un i=1;i<=n;i++){
        l=read(); k=read();
        printf("%d
",num[l][k]);
    }
    return 0;
}