【转】方程的解数(哈希表的应用)

方程的解数

问题描述

　　已知一个n元高次方程：

　　                        

　　其中：x₁, x₂, …,x_n是未知数，k₁,k₂,…,k_n是系数，p₁,p₂,…p_n是指数。且方程中的所有数均为整数。

　　假设未知数1≤ x_i ≤M, i=1,,,n，求这个方程的整数解的个数。

输入文件（equation.in）

　　文件的第1行包含一个整数n。第2行包含一个整数M。第3行到第n+2行，每行包含两个整数，分别表示k_i和p_i。两个整数之间用一个空格隔开。第3行的数据对应i=1，第n+2行的数据对应i=n。

输出文件（equation.out）

　　文件仅一行，包含一个整数，表示方程的整数解的个数。　

输入样例

　　3

　　150

　　1 2

　　-1 2

　　1 2

输出样例

　　178

约束条件

　　 1<=n<=6,1<=M<=150;

 

　　方程的整数解的个数小于2³¹。

　　★本题中，指数Pi(i=1,2,……,n)均为正整数。

下面我们来仔细分析下面这个问题：

题目要求出给定的方程解的个数，这个方程在最坏的情况下可以有6个未知数，而且次数由输入决定。这样就不能利用数学方法直接求出解的个数，而且我们注意到解的范围最多150个数，因此恐怕只能使用枚举法了。最简单的思路是穷举所有未知数的取值，这样时间复杂度是 O(M^6).,这个复杂度是无法承受的.看来只有另辟蹊径了.

因此需要寻找更好的方法，自然想到能否缩小枚举的范围呢？

可以仅仅通过枚举3个未知数的值来找到答案,这样一来, 前一半式子的和值 S 可以确定，这时只要枚举后3 个数的值，检查他们的和是否等于 -S 即可。这样只相当于在 O(M^3) 前面加了一个系数，当然还需要预先算出 1 到 150 的各个幂次的值.

想到了这里，问题就是如何迅速的找到某个 S 是否曾经出现过，以及出现过了多少次，于是就变成了"某个元素是否在给定集合中"这个问题,所以我们选择用使用哈希表解决这个问题。哈希函数的构造我们采用除余法:,即 h(k ) = k mod p,这里p我们选择一个大素数4000037.

程序中mid变量=n/2,首先枚举前n/2的和值S,并将S值保存在哈希表中,我们不仅要记录S的值,同时我们还用一个数组amount[]记录某个S值出现的次数.然后计算多项式后n/2项的和的相反数,再在哈希表中寻找是否有与之相等的S值,若相等则将相等的S值对应的amount[]值相加,就是答案.

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#define max 4000037 //哈希函数中的大素数
using namespace std;
long answer[max],amount[max],use[max];//answer[i]是哈希表,amount[i]表示 s出现的次数,use[i]表示哈希表中该位置不位空
long mid;
long k[6],p[6];//k[i]是各项的系数,p[i]是各项的指数
long n,m,total;//n,m是题目中的约束条件,total是结果
long locate(long s)//哈希表的定位函数
{
long h;
h=s;
while (h<0) h+=max;
while (h>=max) h-=max;
while (use[h] && answer[h]!=s)
{
h++;
if (h>=max) h-=max;
}
return h;
}
void insert(long s)//哈希表的插入函数
{
long posi=locate(s);
if (!use[posi])
{ use[posi]=1;
answer[posi]=s;
}
amount[posi]++;
}
void firsthalf(long d,long s)//计算多项式前n/2项的和,保存在哈希表中
{
if (d==mid)
{
insert(s);
return;
}
long t;
for (long i=1; i<=m; i++)
{
t=k[d];
if (t!=0 && i!=1)
{
for (long j=0; j<p[d]; j++) t*=i;
}
firsthalf(d+1,t+s);
}
}
void find(long d,long s)//计算多项式后n/2项的和的相反数,并判断是否和前n/2项相等
{
if (d==n)
{
long posi;
s=-s;
posi=locate(s);
if (answer[posi]==s)
total+=amount[posi];
return;
}
long t;
for (long i=1; i<=m; i++)
{
t=k[d];
if (t!=0 && i!=1)
{
for (long j=0; j<p[d]; j++)
t*=i;
}
find(d+1,t+s);
}
}

int main()
{
freopen("dat.in","r",stdin);
freopen("dat.out","w",stdout);
cin>>n>>m;
for (long i=0; i<n; i++)
cin>>k[i]>>p[i];
mid=n/2;
firsthalf(0,0);
find(mid,0);
cout<<total<<endl;

return 0;
}