最长上升子序列(LIS)长度的O(n^2)与O(nlogn)算法

最长上升子序列(LIS)长度算法

下面是O(n^2)算法

DP状态转移方程:

D[i] = max{1, D[j] + 1} (j = 1, 2, 3, ..., i-1 且 A[j] < A[i])

解释一下这个方程，i， j在范围内:

如果 A[j] < A[i] ，则D[i] = D[j] + 1

如果 A[j] >= A[i] ，则D[i] = 1

 max = 0;
    for (i = 1; i <= n; i++)
    {
        d[i] = 1;
        for (j = 1; j <= i - 1; j++)
        {
            if (a[j] < a[i] && d[i] < d[j] + 1)
            {
                d[i] = d[j] + 1;
            }
        }
        /* 记录最长子序列 */
        if (d[i] > max) max = d[i];
    }

刚才用O(n^2)的DP算法做了最长上升子序列。后来在网上看到说LIS问题有O(nlogn)的算法，于是拿来小研究了一下。

这个算法其实已经不是DP了，有点像贪心。至于复杂度降低其实是因为这个算法里面用到了二分搜索。本来有N个数要处理是O(n)，每次计算要查找N次还是O(n)，一共就是O(n^2)；现在搜索换成了O(logn)的二分搜索，总的复杂度就变为O(nlogn)了。

这个算法的具体操作如下(by RyanWang):

开一个栈，每次取栈顶元素top和读到的元素temp做比较，如果temp > top 则将temp入栈；如果temp < top则二分查找栈中的比temp大的第1个数，并用temp替换它。 最长序列长度即为栈的大小top。

这也是很好理解的，对于x和y，如果x < y且Stack[y] < Stack[x],用Stack[x]替换Stack[y]，此时的最长序列长度没有改变但序列Q的''潜力''增大了。

举例：原序列为1，5，8，3，6，7

栈为1，5，8，此时读到3，用3替换5，得到1，3，8； 再读6，用6替换8，得到1，3，6；再读7，得到最终栈为1，3，6，7。最长递增子序列为长度4。

用该算法完成POJ2533的具体代码如下:

#include <iostream>
#define SIZE 1001
 
using namespace std;
 
int main()
{
    int i, j, n, top, temp;
    int stack[SIZE];
    cin >> n;
 
    top = 0;
    /* 第一个元素可能为0 */
    stack[0] = -1;
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        cin >> temp;
        /* 比栈顶元素大数就入栈 */
        if (temp > stack[top])
        {
            stack[++top] = temp;
        }
        else
        {
            int low = 1, high = top;
            int mid;
            /* 二分检索栈中比temp大的第一个数 */
            while(low <= high)
            {
                mid = (low + high) / 2;
                if (temp > stack[mid])
                {
                    low = mid + 1;
                }
                else
                {
                    high = mid - 1;
                }
            }
            /* 用temp替换 */
            stack[low] = temp;
        }
    }
 
    /* 最长序列数就是栈的大小 */
    cout << top << endl;
 
    //system("pause");
    return 0;
}