CF 223C

题意：给出一个数列a[n]，规定一种操作：用其前n项和s[n]覆盖a[n]，一共操作k次，输出数列a。1<=n<=2000，0<=k<=10⁹，0<=a_i<=10⁹。

思路：首选想到用矩阵快速幂做，而且针对大数k，我设计了一种方案：储存2⁰~2²⁹（2³⁰略>10⁹），把k化为2进制，按位&1，是1就加上相应的2^n，很方便有木有？！无奈其复杂度是O(n³)的，当n=200时就差不多TLE了；而且也很耗空间。

由此得出结论：当对数列进行不规则变换时，用矩阵做；当进行纯洁的变换时，还是找规律吧O__O"…

最后找到的规律为：S_n=sum(X_n-i * a_i)，i=1<=n。X_n-i = C(k-1+n-i，k-1)。

//  2013-08-01 20:36:10
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//  by Siriuslzx
#include <stdio.h>
#include <string.h>
typedef long long LL;

const int N = 2005;
const int Mod = 1000000007;
LL a[N],x[N],iv[N];

void gcd(LL a, LL b, LL&d, LL &x, LL &y){
    if(!b){d = a, x = 1, y = 0;}
    else{
        gcd(b, a%b, d, y, x);
        y -= x*(a/b);
    }
}
LL inv(LL a, LL n){
    LL d, x, y;
    gcd(a, n, d, x, y);
    return d == 1 ? (x+n)%n : -1;
}
void init(int n, int k){
    x[0] = 1;
    for(int i = 1; i < n; i++)
        x[i] = x[i-1]*(k-1+i)%Mod*iv[i]%Mod;
}

int main(){
    int n,k,i,j;
    LL sum;
    for(i = 1; i < N; i++)
        iv[i] = inv(i, Mod);
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%I64d",&a[i]);
//  其实当k==0时依然兼容，只是再算感觉浪费
    if(!k){
        for(i = 1; i < n; i++)
            printf("%I64d ",a[i]);
        printf("%I64d
",a[n]);
        return 0;
    }
//  后来把中间这段掐了再交，时间还是一样的
    init(n,k);
    for(i = 1; i <= n; i++){
        sum = 0;
        for(j = 1; j <= i; j++)
            sum = (sum + x[i-j]*a[j]%Mod)%Mod;
        if(i != n)
            printf("%I64d ",sum);
        else printf("%I64d
",sum);
    }
    return 0;
}

 通过做这题得到的一个结论：以1为首项的k阶等差数列，An = C(k+n-1，k)。