斐波那契数列的通项公式及证明

目录

• 简介
• 斐波那契数列的通项公式及证明
  • 通项公式
  • 证明
    • 引入
    • 正题
• 总结

简介

斐波那契数列是指的这样的一个数列，从第3项开始，以后每一项都等于前两项之和。写成递推公式即：

[a_n=a_{n-1}+a_{n-2}(n ge 3) ]

假设令(a_1=1,a_2=1)，则斐波那契数列指的是这样的一串数：({1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,...})。接下来，文章提到斐波那契数列特指(a_1=1,a_2=1)的这串数。

斐波那契数列的通项公式及证明

通项公式

斐波那契数列的通项公式非常对称：

[a_n=frac{1}{sqrt{5}}[(frac{sqrt{5}+1}{2})^n-(frac{sqrt{5}-1}{2})^n] ]

可以发现，斐波那契数列都是整数，但斐波那契数列的通项公式确是由无理数拼凑而来的。那么接下来，我们就来看看如何证明（求解）

证明

引入

首先，我们来看看这样的一个题目：

已知(a_n=k imes a_{n-1}+b(n le 2))，求该数列的通项公式（用含有(k,b,a_1)的式子表示）

这不是一道原题，是我将题目中的数字用字母代替得到的。
闲话少说，我们来看看这要怎么做。
首先，我们要回到两种最基本的数列：等差数列和等比数列。
这两个数列的通项公式分别是：

[a_n=a_1+(n-1) imes d (d为公差) ]

[a_n=r^{n-1} imes a_1 (r为公比) ]

知道了这两个公式，我们便要懂得转化。
可以看到
(~~~)当(k=0)时，该数列是一个常数列，通项公式为(a_n=a_1)
(~~~)当(k=1)时，该数列是一个等差数列，通项公式为(a_n=a_1+b imes (n-1))
(~~~)当(k>1)时，就是我们要讨论的重点。
(~~~~~~)首先，我们考虑能不能把他化为等差数列，然而，很显然不行。
(~~~~~~)那么，就考虑等比数列，我们把常数项(b)裂解，使之构成这样的一个式子：

[a_n+t=k(a_{n-1}+b-t) ]

(~~~~~~)可以通过解方程算出(t)的值，于是原式便变成了一个等比数列，运用等比数列的通项公式，然后移项，数列({a_n})的通项公式也就求出来了。

(Ps.)这种方法在高中必修五会重点讲到，这种计算数列通项公式的算法就叫裂项构造法，后面的篇幅讲重点讲高中不会涉及的二阶递推式的通项公式的求法。

正题

斐波那契数列的递推公式为

[a_n=a_{n-1}+a_{n-2}(n ge 3) ]

同样考虑裂项可设

[a_n-lambda a_{n-1}=mu (a_{n-1}-lambda a_{n-2}) ]

移项后，使系数相同，得到：

[left{egin{matrix} lambda + mu = 1\ -lambda imes mu =1 end{matrix} ight.]

解得

[left{egin{matrix} lambda = frac{1+sqrt{5}}{2}\ mu = frac{1-sqrt{5}}{2} end{matrix} ight. ext{或}left{egin{matrix} lambda = frac{1-sqrt{5}}{2}\ mu = frac{1+sqrt{5}}{2} end{matrix} ight.]

将其带回到原式可得到

[left{egin{matrix} a_n-frac{1+sqrt{5}}{2}a_{n-1}=frac{1-sqrt{5}}{2}(a_{n-1}-frac{1+sqrt{5}}{2}a_{n-2})\ a_n-frac{1-sqrt{5}}{2}a_{n-1}=frac{1+sqrt{5}}{2}(a_{n-1}-frac{1-sqrt{5}}{2}a_{n-2}) end{matrix} ight.]

可以发现({a_{n+1}-frac{1+sqrt{5}}{2}a_n})已经构成了一个等比数列，然后根据等比数列通项公式，我们可以得到：

[left{egin{matrix} a_n-frac{1+sqrt{5}}{2}a_{n-1}=(frac{1-sqrt{5}}{2})^{n-2}(a_2-frac{1+sqrt{5}}{2}a_1)---------1.\ a_n-frac{1-sqrt{5}}{2}a_{n-1}=(frac{1+sqrt{5}}{2})^{n-2}(a_2-frac{1-sqrt{5}}{2}a_1)---------2. end{matrix} ight.]

然后：

[2. imes frac{1-sqrt{5}}{2}-1. imes frac{1+sqrt{5}}{2} ]

化简得

[a_n=frac{1}{sqrt{5}}[(frac{sqrt{5}+1}{2})^n-(frac{sqrt{5}-1}{2})^n] ]

得证！！！
完结散花(^o)/~ O(∩_∩)O哈哈~

总结

通过递推公式计算通项公式的思想就是，将数列化为我们能够处理的数列，这种思想在我们平时的学习中也会运用到。
最后，请思考，如果上面求出的(lambda)=(mu)，我们要怎么处理呢？
欢迎在评论区留言。
我会在这一篇博文重点讲解((Ps.)由于我还没有写，写完了我会补上去。)