写在最前
对于形如(z=f(x,y))的函数，求解极值的通法一般有两种：
- 偏导数法
- 二元全微分法
由于偏导数法操作简单，下面仅介绍这种方法
二元函数极值点
(Ops:)只想知道最值的可以跳过这一节。
我们以驻点为圆心在(xy)平面上做一个圆（就如同在一元函数(y=f(x))驻点附近找一段区间），若当半径足够小时，(f(x_0,y_0))是该圆形区域的最大值或最小值， 那么该驻点就是极大值点或极小值点。与一元函数类似，驻点不一点是极值点。
那么我们如何判断极点呢？
一个比较常规的想法是，让(f_x)在(x=x_0)的两边异号，让(f_y)在(y=y_0)的两边异号，借此来判断函数的极值点。但有一个很明显的错误：
类比地理中的鞍部，这个点被称作鞍点。
那么，该怎么做呢，数学家想到了一种方法——二阶偏导法。
令
[A=f_{xx}(x_0,y_0),B=f_{xy}(x_0,y_0),C=f_{yy}(x_0,y_0)
]
则有
[A imes C-B^2>0 ext{$large 且$} A>0==> ext{$large 极小值$}
]
[A imes C-B^2>0 ext{$large 且$} A<0==> ext{$large 极大值$}
]
[A imes C-B^2<0==> ext{$large 鞍点$}
]
[A imes C-B^2==0 ==> ext{$large 无法确定$}
]
二元函数最值
最值问题和极值问题相比，最大的区别就是最值问题可以通过比较各点的值来计算。我们可以通过求出所有极值点甚至非极值点的值来得出最终的答案。既然如此，我们可以求出所有可能的点（各偏导等于零的点）并计算得到最终答案。