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  • 证明 当 a=qb+r, gcd(a,b)=gcd(b,r),a,b,q,r 属于整数

    证明 当 a=qb+r, gcd(a,b)=gcd(b,r),a,b,q,r 属于整数

    证明:

    1˚ 当 a = b = 0,则 r = 0,gcd(a,b)=gcd(b,r) 成立

    2˚ 当 a,b 不同时为零

    设 gcd(a,b) = d,gcd(b,r) = c,即 d 是 a,b 的 最大公因数,c 是 b,r 的 最大公因数

    因为 gcd(a,b) = d,所以 d|a,d|b ( 其中符号“|”表示整除:除数|被除数 )

    根据 整除的性质 a|b 且 a|c ⇔ 对任意的 x,y ∈ ℤ 有 a|( bx + cy )

    得 d|(ax + by), 令 x=1,y=-q,则 d|(a - bq) ,即 d|r

    因为 d|b,d|r,所以 d 是 b,r 的公因数

    因为已知 c 是 b,r 的 最大公因数,所以 d ≤ c     ①

    同理可得 c 是 a,b 的公因数

    因为已知 d 是 a,b 的 最大公因数,所以 c ≤ d     ②

    因为 d ≤ c 且 c ≤ d,所以 d = c, gcd(a,b)=gcd(b,r) 成立

    -----------------

    证  c 是 a,b 的公因数

    因为 gcd(b,r) = c,所以 b|c,r|c

    根据 整除的性质 a|b 且 a|c ⇔ 对任意的 x,y ∈ ℤ 有 a|( bx + cy )

    得 c|(bx + ry), 令 x=q,y=1,则 c|(bq + r) ,即 c|a

    因为 c|a,c|b,所以 c 是 a,b 的公因数

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