K倍区间

问题描述

　　给定一个长度为N的数列，A1, A2, ... AN，如果其中一段连续的子序列Ai, Ai+1, ... Aj(i <= j)之和是K的倍数，我们就称这个区间[i, j]是K倍区间。

　　你能求出数列中总共有多少个K倍区间吗？

输入格式

　　第一行包含两个整数N和K。(1 <= N, K <= 100000)
　　以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100000)

输出格式

　　输出一个整数，代表K倍区间的数目。

样例输入

5 2
1
2
3
4
5

样例输出

6

数据规模和约定

　　峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
　　CPU消耗 < 2000ms

　　请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入...” 的多余内容。

　　注意：
　　main函数需要返回0;
　　只使用ANSI C/ANSI C++ 标准;
　　不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。
　　所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include <xxx>
　　不能通过工程设置而省略常用头文件。

　　提交程序时，注意选择所期望的语言类型和编译器类型。

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题解

题目清晰明了，简单的，暴力枚举~~~

void fun(int *a, int n, int k)
{
    int c = 0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=i;j<n;j++){
            int sum = 0;
            for(int t=i;t<j;t++){
                sum += a[t];
            }
            if(!(sum%k)){
                c++;
            }
        }
    }
    cout<<c<<endl;
 } 

 或

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int MAX = 100001;

int main()
{
    int n, k;
    cin>>n>>k;
    ll a[MAX], b[MAX], s = 0;
    memset(a, 0, sizeof(a));
    memset(b, 0, sizeof(a));
    ll c = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
        if(a[i]%k == 0)
            c++;
        s += a[i];
        b[i] += s;
    }
    b[0] = 0;
    for(ll i=0;i<n-2;i++){
        for(ll j=i+2;j<=n;j++){
            int e = abs(b[j] - b[i]);
            if(e%k == 0)
                c++;
        }
    }
    cout<<c<<endl;
    
    return 0;
}

然后，超时了~~~

题目部分数据很大，枚举的时间复杂度为o(n^3)或o(n^2)，超时还是很正常的！

在网上学习了很多篇文章之后，总算是明白了优化算法。

现将我的理解分享给大家！

设有一数列a,需要求的是k=2的k倍区间：

 a = [1, 2, 3, 4, 5] 

我们可以知道

 任何区间[i, j]，都可以表示为：前 j 项的和减去前 i-1 项的和，即 sum = S[j] - S[i-1] 

如果这个区间是k倍区间，那么下列等式成立：

(S[j] - S[i-1])%k == 0
// 移项得
S[j]%k == S[i-1]%k

 也就是说，我们只需要求出前n项和，即：
 S[1], S[2], ..., S[n] 

然后我们判断它们对k取模的值，

  [1, 1, 0, 0, 1] 

此时，我们只要随意的选取模相同的区间，那么就是满足题意的区间，但是当我们的 i 取0时，会有-1出现，因为我们的公式是

  S[j]%k == S[i-1]%k 

所以我们要在最前面添加一个值，但是又不能影响整个数列，很明显，我们要添加一个 0， 如下图：

图不是很好看，但是大致就是这意思！！！

换句话说，我们只需要求出相同的数的组合数就ok了。

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解 

#include<iostream>
#include<cstring>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int MAX = 100009;
int n, k;
ll a[MAX], s[MAX], c = 0;

int main()
{
    
    cin>>n>>k;
    memset(a, 0, sizeof(a));
    memset(s, 0, sizeof(a));
    int x = 0, y = 0;
    s[0] = 1;
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>x;
        y = (y + x)%k;
        s[y%k]++;
    }
    for(int i=0;i<k;i++){
        c += (s[i]*(s[i]-1))/2;
    }
    cout<<c<<endl;
    return 0;
}

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此外，我还看到另一种解法，可惜有一小地方没弄明白，这里放上代码（https://www.lucien.ink/archives/63/）

#include <cstdio>

int tmp, sum, cnt[100007], n, k;

long long ans;

int main() 
{
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for (int i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%d", &tmp);
        sum = (sum + tmp) % k;
        ans += cnt[sum]++;
    }
    
    prisntf("%lld
", ans + cnt[0]);
    return 0;
}