正定矩阵（用于SVM的Mercer定理）

定义：一个n × n的实对称矩阵 M 是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有 z^TMz > 0。

正定矩阵判定：

1.	矩阵M的所有的特征值 λi都是正的。根据谱定理，M必然与一个实对角矩阵D相似（也就是说M = P − 1DP，其中P是幺正矩阵，或者说M在某 个正交基可以表示为一个实对角矩阵）。因此，M是正定阵当且仅当相应的D的对角线上元素都是正数。
2.	半双线性形式 定义了一个Cn上的内积。实际上，所有Cn上的内积都可看做由某个正定阵通过此种方式得到。
3.	M是n个线性无关的n维向量 的Gram矩阵，其中的k为某个正整数。更精确地说，M定义为： 换句话说，M具有A*A的形式，其中A不一定是方阵，但需要是单射的。
4.	M的所有顺序主子式，也就是顺序主子阵的行列式都是正的（西尔维斯特准则）。明确来说，就是考察下列矩阵的行列式： M左上角1× 1的矩阵 M左上角2× 2矩阵 ... M自身。 对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如以下例子：
5.	存在唯一的下三角矩阵 L，其主对角线上的元素全是正的，使得： M = LL * . 其中L * 是L的共轭转置。 T这一分解被称为Cholesky分解。

正定矩阵性质：

若M为半正定阵，可以写作。如果M是正定阵，可以写作M > 0。这个记法来自泛函分析，其中的正定阵定义了正算子。

对于一般的埃尔米特矩阵，M、N，当且仅当。这样可以定义一个在埃尔米特矩阵集合上的偏序关系。类似地，可以定义 M > N。

1.	每个正定阵都是可逆的，它的逆也是正定阵。如果 那么 。
2.	如果M是正定阵，r > 0为正实数，那么 rM 也是正定阵。 如果 M、N 是正定阵，那么和M + N、乘积 MNM 与 NMN 都是正定的。如果 MN = NM，那么 MN 仍是正定阵。
3.	如果M = (mij) > 0 那么主对角线上的系数mii 为正实数。于是有tr(M) > 0。此外还有
4.	矩阵M 是正定阵当且仅当存在唯一的正定阵B > 0 使得 B2 = M。根据其唯一性可以记作B = M1 / 2，称B 为M 的平方根。对半正定阵也有类似结论。同时，如果M > N > 0 那么 M1 / 2 > N1 / 2 > 0.
5.	如果M,N > 0 那么 ，其中 表示克罗内克乘积。
6.	对矩阵M = (mij),N = (nij)，将两者同一位置上的系数相乘所得的矩阵记为，即，称为M 与 N的阿达马乘积。如果M,N > 0，那么 。如果 M,N 为实系数矩阵，则有如下不等式成立：
7.	设M > 0，N 为埃尔米特矩阵。如果（MN + NM > 0），那么（N > 0）。
8.	如果为实系数矩阵，则。
9.	如果M > 0为实系数矩阵，那么存在δ > 0 使得，其中 I 为单位矩阵。