一、算法介绍
Floyd-Warshall算法(英语:Floyd-Warshall algorithm),中文亦称弗洛伊德算法,是解决任意两点间的最短路径的一种算法,可以正确处理有向图或负权(但不可存在负权回路)的最短路径问题,同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为 O(N3),空间复杂度为 O(N2),因时间复杂度比较高,不适合计算大量数据。
二、算法原理
Floyd-Warshall算法的原理是动态规划,Floyd算法适用于APSP(All Pairs Shortest Paths,多源最短路径)。
设 Di,j,k 为从 i 到 j 的只以 (1..k) 集合中的节点为中间节点的最短路径的长度。
- 若最短路径经过点 k,则 Di,j,k = Di,k,k-1 + Dk,j,k-1;
- 若最短路径不经过点 k,则 Di,j,k =Di,j,k-1。
因此,Di,j,k = min (Di,j,k-1, Di,k,k-1 + Dk,j,k-1)。
1 for (k = 0; k < V; k++) { 2 for (i = 0; i < V; i++) { 3 for (j = 0; j < V; j++) { 4 if (dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]) { 5 dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j]; 6 } 7 } 8 } 9 }
输入矩阵:
1 int[][] graph = { 2 {0, 5, INF, 10}, 3 {INF, 0, 3, INF}, 4 {INF, INF, 0, 1}, 5 {INF, INF, INF, 0} 6 };
输出结果:
1 Shortest distance matrix : 2 0 5 8 9 3 INF 0 3 4 4 INF INF 0 1 5 INF INF INF 0
初始化与输入图矩阵相同的求解矩阵。然后,我们通过将所有顶点视为中间顶点来更新解矩阵。这个思想是一个接一个地选取所有顶点并更新所有最短路径,其中包括所选取的顶点作为最短路径中的中间顶点。
源代码:
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 package algorithm.shortestpath; 2 3 public class AllPairShortestPath { 4 final static int INF = 99999, V = 4; 5 6 public void floydWarshall(int[][] graph) { 7 int[][] dist = new int[V][V]; 8 int i, j ,k; 9 for (i = 0; i < V; i++) { 10 for (j = 0; j < V; j++) { 11 dist[i][j] = graph[i][j]; 12 } 13 } 14 for (k = 0; k < V; k++) { 15 for (i = 0; i < V; i++) { 16 for (j = 0; j < V; j++) { 17 if (dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]) { 18 dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j]; 19 } 20 } 21 } 22 } 23 printSoultion(dist); 24 } 25 26 private void printSoultion(int[][] dist) { 27 System.out.println("The following matrix shows the shortest "+ 28 "distances between every pair of vertices"); 29 for (int i = 0; i < V; ++i) { 30 for (int j = 0; j < V; ++j) { 31 if (dist[i][j] == INF) { 32 System.out.print("INF "); 33 } else { 34 System.out.print(dist[i][j] + " "); 35 } 36 } 37 System.out.println(); 38 } 39 } 40 41 public static void main(String[] args) { 42 /* 输入带权重矩阵 43 10 44 (0)------->(3) 45 | /| 46 5 | | 47 | | 1 48 |/ | 49 (1)------->(2) 50 3 */ 51 int[][] graph = { 52 {0, 5, INF, 10}, 53 {INF, 0, 3, INF}, 54 {INF, INF, 0, 1}, 55 {INF, INF, INF, 0} 56 }; 57 58 AllPairShortestPath a = new AllPairShortestPath(); 59 60 a.floydWarshall(graph); 61 } 62 }