一、约瑟夫问题
人们站在一个等待被处决的圈子里。计数从圆圈中指定点开始，并沿着指定方向围绕圆圈进行。在跳过指定数量的人之后，执行下一个人。对剩下的人重复该过程，从下一个开始，朝同一方向跳过相同数量的人，直到只剩下一个人，并被释放。这是由一位犹太历史学家约瑟夫根据经历来命名的问题，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中，他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。这个问题即，给定人数、起点、方向和要跳过的数字，选择初始圆圈中的位置以避免被处决。
二、数学推导过程
该问题具有以下递归结构。
1 josephus(n, k) = (josephus(n - 1, k) + k-1) % n + 1 2 josephus(1, k) = 1
第一个人（从第 k 个开始）被杀死后，剩下 n-1 个人。因此，我们将 josephus（n – 1，k）称为 n-1 人。但是 josephus（n – 1，k）返回的位置将考虑从 k％n + 1 开始的位置。因此，我们必须对 josephus（n – 1，k）返回的位置进行调整。
设 f(n) 为一开始有 n 个人时，生还者的位置（注意：最终的生还者只有一个）。走了一圈以后，所有偶数号码的人被杀。再走第二圈，则新的第二、第四、……个人被杀，等等；就像没有了第一圈一样。如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为 x 的人一开始在第 2x-1 个位置。因此位置为 
的人开始时的位置为 
。这便给出了以下的递推公式：
如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为 1 的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为 x 的人原先位置为 2x+1。这便给出了以下的递推公式：
如果我们把 n 和 f(n) 的值列成表，可以看出一个规律：
|
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
f(n) |
1 |
1 |
3 |
1 |
3 |
5 |
7 |
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
1 |
从中可以看出，f(n) 是一个递增的奇数数列，每当 n 是 2 的幂时，便重新从
开始。因此，如果我们选择 m 和 l，使得 
且 
，那么
。注意：2m 是不超过 n 的最大幂，l 是留下的量。显然，表格中的值满足这个方程。我们用数学归纳法给出一个证明。
定理：如果 
且 
，则 
。
证明：对 n 应用 数学归纳法。n = 1 的情况显然成立。我们分别考虑 n 是偶数和 n 是奇数的情况。
如果 n 是偶数，则我们选择 l1 和 m1，使得 
，且 
。注意 
。我们有
，其中第二个等式从归纳假设推出。
如果 n 是奇数，则我们选择 l1 和 m1，使得 
，且 
。注意 
。我们有
，其中第二个等式从归纳假设推出。证毕。
一般情况下，考虑生还者的号码从 n-1 到 n 的变化, 我们可以得到以下的递推公式（编号从0开始）：
这种方法的 运行时间复杂度 是 O(n)。
三、实现代码
1 package algorithm; 2 3 public class JosephusProblem { 4 private static int josephus(int n, int k) { 5 if (n == 1) 6 return 1; 7 else 8 return (josephus(n-1, k) + k - 1) % n + 1; 9 } 10 11 public static void main(String[] args) { 12 int n = 14; 13 int k = 2; 14 System.out.println("The chosen place is " + josephus(n, k)); 15 } 16 }
参考：约瑟夫问题