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  • [HIMCM暑期班]第4课: 扑克牌问题

    假设跟你玩这样一个游戏:

    拿一副52张牌的扑克,洗均匀。每次展示一张牌,如果是红心或者方块,你就赢10块钱;如果是黑桃或者草花,你就输10块钱。你可以选择在任何时候终止此游戏。问如何确保利益最大化?

    分析:

    1. 玩这个游戏,你不可能会输钱。因为最坏的情况下,你把这个游戏玩到结束,肯定是不赚不赔收场的。

    2. 什么时候退出,决定了收益的多少。

    3. 要使用数学期望来衡量利益最大化。

    4. 一种简单的策略是,只要赢10块钱,就退出。请问在这种策略下,你赢钱的数学期望是多少?

    5. 再简化一下问题,如果只有3张红牌3张黑牌,在4的条件下,问数学期望是多少?

    现在来解决数学期望的问题,假设有6张牌,3红3黑,那么第一次抽牌的数学期望。这里使用类似决策树(其实是最简化的一种)的方案来实现:

    Ⅰ第一次抽到红:3/6 √

    Ⅱ第一次抽到黑:3/6

    ①第二次抽到红:3/5

         1. 第三次抽到红:2/4 √

         2. 第三次抽到黑:2/4

                A. 第四次抽到红2/3

                         a)第五次抽到红1/2 √

                         b) 第五次抽到黑1/2 ×

                B. 第四次抽到黑1/3 ×

    ②第二次抽到黑:2/5

         1. 第三次抽到红:3/4

                A. 第四次抽到红2/3

                         a) 第五次抽到红1/2 √

                         b) 第五次抽到黑1/2 ×

                B. 第四次抽到黑1/3 ×

         2. 第三次抽到黑:1/4 ×

    这里打勾√表示挣到10块钱退出,打叉×表示最后要平局收场。统计一下所有打勾的情况的加权平均数:

    3/6+3/6×3/5×2/4+3/6×3/5×2/4×2/3×1/2+3/6×2/5×3/4×2/3×1/2

    = 1/2+1/20+3/20+1/20

    = 15/20 = 3/4

    即是答案。

    结论:

    这节课上主要介绍了数学期望这个概念,然后对一些排列组合的问题进行了简单的分析和练习。下一节课还会在此问题上进行展开。

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