指数循环节

$$求证a^bequiv a^{b\%varphi(m)+varphi(m)}(\%m),其中bgeq varphi(m)$$

我们模$m$最多只有$m$种结果，所以根据鸽巢原理，在

$$a^0,a^1,...,a^m(\%m)$$

这$m+1$个数中，一定存在最小的$r$和最小的$s$，满足$a^requiv a^{r+s}(\%m)$且$r+sleq m.$$......(1)$

所以序列其实是这样的：

$$a^0,a^1,a^2,...,a^{r-1},a^r,a^{r+1},...,a^{r+s-1},a^r,a^{r+1},...(\%m)$$

也就是说，从$a^0$到$a^{r-1}$不是重复的，但是从$a^r$开始，会循环出现$a^r,a^{r+1},...,a^{r+s-1}$，循环节长度为$s$$......(2)$

由$(1)$式得：$m|a^{r+s}-a^{r}$，即$m|a^{r}(a^{s}-1)$

不妨设$m=a^{r0}m'$，且$(a,m')=1$$......(3)$

变成$a^{r0}m'|a^{r}(a^{s}-1)$$......(4)$

不妨设$r0<r$

则由$(4)$式得$m'|a^{r-r0}(a^{s}-1)$，即$m'|a^{r-r0+s}-a^{r-r0}$，所以$a^{r-r0}equiv a^{r-r0+s}(\%m')$

又因为$m'|m$，所以$a^{r-r0}equiv a^{r-r0+s}(\%m)$，所以$r-r0$也满足条件，这与$r$的最小性矛盾，所以$r0=r$，$m=a^rm'$

另一方面，在$(3)$式中，易知$(a,a^s-1)=1$,所以$(a^r,a^s-1)=1$

故$m'|a^{s}-1$，$a^sequiv 1(\%m')$

因为$(a,m’)=1$，根据欧拉定理得$a^{varphi (m')}equiv 1(\% m')$
所以$s|varphi (m')$

又因为$m=a^{r}m'$，$(a,m')=1$，所以$varphi(m')|varphi(m)$

所以$s|varphi (m)$

所以结论$(2)$可描述为：

$$a^0,a^1,a^2,...,a^{r-1},a^r,a^{r+1},...,a^{r+varphi (m)-1},a^r,a^{r+1},...(\%m)$$

从$a^0$到$a^{r-1}$不是重复的，但是从$a^r$开始，会循环出现$a^r,a^{r+1},...,a^{r+varphi (m)-1}$，循环节长度为$varphi (m)$$......(5)$

因为$m=a^rm'$，所以$varphi(m)geq varphi(a^r)geq a^{r-1}(a-1)geq r$

所以结论$(5)$又可以描述为：从$a^0$到$a^{varphi(m)-1}$不是重复的，但是从$a^{varphi(m)}$开始，会循环出现$a^varphi(m),a^{varphi(m)+1},...,a^{varphi(m)+varphi (m)-1}$，循环节长度为$varphi (m)$$......(5)$

所以$$a^bequiv a^{b\%varphi(m)+varphi(m)}(\%m),其中bgeq varphi(m)$$

另外，如果$b < varphi(m) $直接快速幂就可以了。

来看一道例题

题目描述

C同学竟然卡题了！而且还卡在一个不难的题目上。题目是这样的：

定义a^b为a的b次方，并且^是满足右结合的，即a^b^c^d=a^(b^(c^d))。例如，2^3^2=2^(3^2)=2^9=512。

现在给定n个数a1，a2，…，an，求a1 ^ a2 ^ … ^ an对p取模的值。

输入格式

输入包括多组数据。

第一行一个整数T，表示数据组数。

接下来每组数据第一行两个整数n,p，第二行n个整数依次描述a1到an。n，p，ai的意义与题目描述一致。

输出格式

    对于每组数据输出一行，包含一个整数，即a1 ^ a2 ^ … ^ an对p取模的值。

输入样例

2

5 13

2 2 2 2 2

3 9

2 3 2

输出样例

3

8

数据范围

对于20%的数据，保证n=2；

对于另外30%的数据，保证n≤4，并且a1 ^ a2 ^ … ^ an的位数≤1000，数据组数<=5；

对于100%的数据，保证2≤n≤20，0<p,ai<10^7，数据组数≤100。

我们在求快速幂的时候看一下有没有大于等于mod即可

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<fstream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<utility>
#include<set>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<functional>
#include<deque>
#include<cctype>
#include<climits>
#include<complex>
//#include<bits/stdc++.h>适用于CF,UOJ，但不适用于poj
 
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef double DB;
typedef pair<int,int> PII;
typedef complex<DB> CP;

#define mmst(a,v) memset(a,v,sizeof(a))
#define mmcy(a,b) memcpy(a,b,sizeof(a))
#define fill(a,l,r,v) fill(a+l,a+r+1,v)
#define re(i,a,b)  for(i=(a);i<=(b);i++)
#define red(i,a,b) for(i=(a);i>=(b);i--)
#define ire(i,x) for(typedef(x.begin()) i=x.begin();i!=x.end();i++)
#define fi first
#define se second
#define m_p(a,b) make_pair(a,b)
#define p_b(a) push_back(a)
#define SF scanf
#define PF printf
#define two(k) (1<<(k))
#define SIZE(x) (int(x.size())

template<class T>inline T sqr(T x){return x*x;}
template<class T>inline void upmin(T &t,T tmp){if(t>tmp)t=tmp;}
template<class T>inline void upmax(T &t,T tmp){if(t<tmp)t=tmp;}

inline int sgn(DB x){if(abs(x)<1e-9)return 0;return(x>0)?1:-1;}
const DB Pi=acos(-1.0);

int gint()
  {
        int res=0;bool neg=0;char z;
        for(z=getchar();z!=EOF && z!='-' && !isdigit(z);z=getchar());
        if(z==EOF)return 0;
        if(z=='-'){neg=1;z=getchar();}
        for(;z!=EOF && isdigit(z);res=res*10+z-'0',z=getchar());
        return (neg)?-res:res; 
    }
LL gll()
  {
      LL res=0;bool neg=0;char z;
        for(z=getchar();z!=EOF && z!='-' && !isdigit(z);z=getchar());
        if(z==EOF)return 0;
        if(z=='-'){neg=1;z=getchar();}
        for(;z!=EOF && isdigit(z);res=res*10+z-'0',z=getchar());
        return (neg)?-res:res; 
    }

const int maxn=25;

int n,p,s;
int a[maxn],b[maxn],c[maxn],d[maxn];

int mul(int x)
  {
      int i,res=x;
      for(i=2;i*i<=x;i++)
        if(x%i==0)
          {
              while(x%i==0)x/=i;
              res=res/i*(i-1);
          }
      if(x>1)res=res/x*(x-1);
      return res;
  }

int getpow(int a,int k,int modd)
  {
      LL res=1,x=a,flag=0;
      for(;k;k>>=1)
          {
              if(k&1)
                  {
                      if(res*x>=modd) flag=1;
                      res=res*x%modd;
                    }
                if(k==1)break;
                if(x*x>=modd)flag=1;
                x=x*x%modd;
            }
        if(flag)res+=modd;
      return res;
  }

int main()
  {
      freopen("pow.in","r",stdin);
      freopen("pow.out","w",stdout);
      int i,j,T=gint();
      while(T--)
        {
            n=gint();p=gint();mmst(a,0);mmst(b,0);mmst(c,0);mmst(d,0);
            re(i,1,n)a[i]=gint();
            s=0;for(int t=p;t!=1;t=mul(t))b[++s]=t;
            re(j,1,s)
                  {
                      c[j]=a[n]%b[j];
                      if(a[n]>=b[j])c[j]+=b[j];
                    }
            red(i,n-1,1)
              {
                  re(j,1,s)d[j]=getpow(a[i],c[j+1],b[j]);
                  re(j,1,s)c[j]=d[j];
              }
            PF("%d
",c[1]%p);
        }
      return 0;
  }