群论
1.群的定义
1.二元运算
- 设(S)与(G)均为集合,则称所有有序实数对((a, b))构成的集合为它们的笛卡尔积,其中(a in S, b in G),记作(S imes G)。即(S imes G = {(a,b)|a in S, b in G})。
- 从(S imes S)到(S)的一个映射 (cdot) 称作(S)上的一个二元运算。
2.群的定义
设(G)为一个非空集合,若在(G)上定义一个运算 (cdot) ,满足:
- 封闭性:对(forall a,b in G),有(a cdot b in G)。(由此处可知运算 (cdot) 为一二元运算)。
- 结合性:对(forall a,b,c in G),有((a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c))。
则称(G)为一个半群,记作((G,cdot));若((G, cdot))还满足:
- (exists)单位元(e in G),使(forall a in G)有(e cdot a = a cdot e = a)。
则称((G, cdot))为一个幺半群;若((G, cdot))还满足:
- 对(forall a in G),有(b in G),使(b cdot a = a cdot b = e)。
则称((G, cdot))为一个群。
又:如果群((G, cdot))满足交换律:对(forall a,b in G),有(a cdot b = b cdot a),则称(G)为交换群或(Abel)群。
群中的乘法运算( (cdot) 运算)一般简记为(ab)。如果(ab = ba = e)则称(a)为一个可逆元,并称(b)为(a)的逆元。可逆元(a)的逆元通常记作(a^{-1})。易知可逆元的逆元是唯一的。(即为定义4)
3.群的性质
- 消去律:设群中的元素(a,b,c)满足(ab = ac)或(ba = bc),则(b = c)。
证明:若(ab = ac):
[ab = ac \
a^{-1}ab=a^{-1}ac \
(a^{-1}a)b=(a^{-1}a)c \
eb=ec \
b=c
]
同理可得(ba=ca)时有(b=c)。
- 若(ab=a)或(ba=a),则(b=e)。
- 若(ab=e)或(ba=e),则(b=a^{-1})。
- ((a^{-1})^{-1}=a)。
- ((ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1})。
4.元素的阶
- 由有限多个元素构成的群(G)称为有限群,其中元素的个数记作(|G|),称为(G)的阶。用(|G|=infty)表示(G)是无限群。
- 若(a)为是群(G)的一个元素,则使得(a^{n}=e)的最小正整数(n),称为(a)的阶(或周期),记为(o(a))。若这样的正整数不存在,则称(a)的阶为无穷。
2.子群
1.子群的定义
设(H)是群(G)的一个非空子集,若(H)满足条件:
- 乘法封闭:对(H)中的(forall a,b)都有(ab in H)。
- 求逆封闭:对(H)中的(forall a)都有逆元(a^{-1} in H)。
则称(H)为(G)的一个子群。
2.性质
设(H)为群(G)的一个非空子集,若(ab^{-1} in H)对(forall a,b in H)成立,则(H)是(G)的一个子群。
证明:(1).任取(cin H),则(e = cc^{-1} in H);对(forall a in H),有(a^{-1} = ea^{-1} in H),因此(H)对求逆封闭。
(2).对(forall a,b),有(ab = a(b^{-1})^{-1} in H),因此(H)对乘法封闭。
所以(H)是(G)的一个子群。