威尔逊定理 费马小定理 欧拉定理 扩展欧拉定理
3.威尔逊定理
若 (p) 为一质数，则有 (p | (p - 1)! + 1)，即 ((p - 1)! equiv -1(mod p))。
逆定理亦成立，即若有一正整数 (p)，满足 ((p - 1)! equiv -1 (mod p))，则 (p)为一质数。
2.费马小定理
设(p)为质数，又有一 (a) 与 (p) 互质，则有 (a^{p - 1} equiv 1(mod p))。
3.欧拉定理
1.欧拉函数
(phi(n))表示对于正整数 (n)，小于等于 (n) 的，与 (n) 互质的数的个数。
1.若 (n) 为一素数，则 (phi(n) = p - 1)；
2.若 (n) 为某一素数 (p) 的 (a) 次幂，则 (phi(n) = phi(p^a) = (p - 1)cdot p^{a - 1})；
3.若 (n) 为任意两个数 (a) 和 (b) 的积，那么 (phi(a imes b) = phi(a) imes phi(b))；
4.设 (n) 的唯一分解式为 (p_1^{a_1} imes p_2^{a_2} imes …… imes p_k^{a_k})，则 (phi(n) = n imes (1 -dfrac{1}{p_{1}}) imes (1 - dfrac{1}{p_2}) imes …… imes (1 - dfrac{1}{p_k}))。
2.欧拉定理
设 (n)，(a) 为正整数且互质，则 (a^{phi(n)} equiv 1 (mod n))。
4.扩展欧拉定理
[a^b equiv
egin{cases}
a^{b mod phi(p)}&, gcd(a, p)=1\
a^bqquad &,gcd(a, p)
eq 1,b > phi(p)\
a^{(b mod phi(p) + phi(p))}&, gcd(a, p)
eq 1, b leqslant phi(p)
end{cases}
]