后缀自动机多图详解（代码实现）

作者注：搭配理论证明类的(SAM)博客阅读，效果更佳。作者水平较低，时间有限，只讲实现，不再胡乱证明。

后缀自动机是一种在线的，动态添加字符扩展字符串的算法。蒟蒻深知没图的痛苦，这里放一个带详细图片解析的代码实现，加深一下自己印象。顺便造福后人

作图工具：(WPS) (PowerPoint) (For) (Ubuntu)

如图所示，添加扩展字符(c)后，后缀自动机中受影响的有且仅有(p)的后缀，所以我们只需对(p)的后缀的连边情况进行更新即可。

• 遍历(p)的后缀。（(=)在其后缀链接(/)(parent) (Tree)上向上跳）

  • (p)的后缀中有一部分，其后面接上字符(c)获得的新后缀，在添加字符(c)之前的原串中还未出现过。虽然原串中并没有这样的串，但是添加字符(c)后的新串中就刚刚出现了一个。这里我们拉一条向新串(q)的，字符为(c)的(Trie)边。

int p = lst, q = ++node; lst = q;
len[q] = len[p] + 1;
while (!ch[p][c] && p != 0) {
    ch[p][c] = q;
    p = fa[p];//更新原串后缀的连边
}

• 通过这一步，我们完成了图示中下面一部分的状态更新。

对上面的那一部分，我们要分类讨论。

1. 字符(c)是第一次出现

   • 这种情况下，上面部分是不存在的。所有新生后缀都没有在原串中的对应子串。

   • 所以所有新生后缀构成同一个等价类，只在尾部出现一次，连一条向根节点（(1)）的后缀链接。

if (p == 0) {
    fa[q] = 1; //莫得其他已有后缀
}

2. 如果有的话：

设这个点为(x)。可能产生的情况有：

$$len[x] = len[p]+1$$

对应下面这样的情况：

这个时候情况比较简单。(p)后缀链接上的所有祖先，其(Trie)边也都指向这个点(x)。我们需要做的，就是把新产生的，原串中未出现的后缀，也就是前面图中的下半部分接上去，完善其后缀链接的信息。

为什么这么接？因为(x)是等价类(q)字符串长度最相近的等价类嘛～那么底下那部分的事就算完了。

int x = ch[p][c];
if (len[p] + 1 == len[x]) {
    fa[q] = x; //x是q的后缀
}

另一种情况则是这样的：

$$len[x] >len[p]+1$$

也就是说：第一个跳到的，后面接上(c)产生的字符串，在原串中出现过的那个等价类（(p)），其接上(c)之后对应的那个等价类中，存在比当前这个等价类最长的字符串接上(c)还要长的串。显然长出来的部分不会再和最开始图中的下半部分吻合，如果吻合自然不被堆在底下。

也就是说，这种情况大概长这样：

其中，蓝色部分的(end\_pos)会扩大一个，原因是在新串在结尾处再次出现了这些串。但黄色那一部分却并没有作为后缀在新串结尾处再次出现。

连(end\_pos)都不一样，那显然就不是同一个等价类了。结论只有一个：分家，把(x)分成(x)和新节点(y)两部分。

来考虑新节点的连边情况。向后连(Trie)边等效于再在后面加字符。因为(c)已经是结尾处的字符了，所以再添加字符在(c)后面的话，结尾处自然不可能匹配得上，字符(c)就无法对(end\_pos)集合起到任何作用了。也就是说，(x)和(y)的(Trie)边是一致的，做一次(memcpy)即可。

int y = ++node;
memcpy (ch[y], ch[x], sizeof (ch[x]));

我们把分出来的(y)设置为(len<=len(p) + 1)的部分，这样(p)在添加字符(c)之后就可以正常连接到(y)上了。由于(x)和(y)在原本长度连续的字符串集合中区间的某一长度点断开，所以可以得到(min\_len(x) = max\_len(y)+1)，(y)是(x)在后缀链接上的父亲。同样的，(y)在后缀连接上的父亲，应该把原来(x)在后缀连接上的父亲继承过来，可以类比于链表的那种插入方式。（注意处理时候的先后）

别忘了把(q)也拉过来一条向(x)的后缀链接，(q)在后缀链接上的父亲也是对应着(x)呢。（参考之前的图。）

len[y] = len[p] + 1;
fa[y] = fa[x];
fa[x] = fa[q] = y;

大概就是这样的一个处理方式。（(Trie)边实在没法画了(QwQ)）

那么(p)的祖先的后缀链接呢？节点(p)在后缀链接上的所有祖先都还接在(x)上呢啊(QwQ)

节点(p)在后缀链接上的祖先一定是(p)对应等价类的后缀，即长度小于(min\_len(p))。也就是说，它们在添加字符(c)后，同样应该连接在点(x)上。我们把(p)点的祖先的连边做一下更新，让它们本来连到(x)上的边重定向到(y)上。

while (p != 0 && ch[p][c] == x) {
    ch[p][c] = y;
    p = fa[p];
}

完整代码如下：

void Extend (int c) {
	int p = lst, q = ++node; lst = q;
	len[q] = len[p] + 1; siz[q] = 1;
	while (!ch[p][c] && p != 0) {
		ch[p][c] = q;
		p = fa[p];//更新原串后缀的连边
	}
	if (p == 0) {
		fa[q] = 1; //q莫得其他已有后缀
	} else {
		int x = ch[p][c];
		if (len[p] + 1 == len[x]) {
			fa[q] = x; //x成为q的后缀
		} else {
			int y = ++node;
			fa[y] = fa[x];
			fa[x] = fa[q] = y;
			len[y] = len[p] + 1;
			memcpy (ch[y], ch[x], sizeof (ch[x]));
			while (p != 0 && ch[p][c] == x) {
				ch[p][c] = y;
				p = fa[p];
			}
		}
	}
}

作图很辛苦。如果对你有帮助，请记得点一下推荐哦(QwQ)