BSGS与exBSGS学习笔记

(BSGS)用于解决这样一类问题：

求解(A^x ≡B(modP))的最小(x)，其中(P)为质数。

这里我们采用分块的方法，把(x)分解为(i *t-b)（其中(t)是分块大小） 。根据模意义下逆元的性质，(x)的大小一定(<=phi(p))即(p - 1)，所以经过移项和进行存在性对比，我们就可以(O(N))求出答案。

int BSGS (int A, int B, int P) {
    int t = (int) ceil (sqrt (P));
    for (int j = 0; j < t; ++j) {
        mp[_mul (B, _pow (A, j, P), P)] = j;
        //mp[ B * A ^ j ] = j; 
    }
    A = _pow (A, t, P);
    for (int i = 1; i <= t; ++i) {
        int val = _pow (A, i, P);
        //val = A^{i*t};
        int j = mp.find (val) == mp.end () ? -1 : mp[val];  
        if (j >= 0) {
            return i * t - j;
        }
    }
    return -1;
} 

上面这份代码中其实还可以把快速幂的(log)优化掉，可能会被卡常。

几个要注意的关键点：

• 避免快速幂
• 优化快速乘
• 小心取模和(longlong)
• (p)一定要是质数！
• 建议手写哈希不然会多一个(log)（(unordered\_map)是不允许使用的）

(exBSGS)其实就是一个简单的扩展，把情况扩展到了(p)不是质数的情况，这种情况我们要先把(P)和(A)化为互质的状态。也就是说：对(A)和(P)取(gcd)直到其互质为止，从而化为如下形式：

[(A/d)^{cnt} * A^{x}≡B/d^{cnt} (mod P/d^{cnt}) ]

其中，当(B)不能被二者的(gcd)整除时，就意味着原方程无解。

几个注意点：

• 前面的((A/d)^{cnt})同样需要统计进去
• 要使用(exgcd)求解，因为可能不存在逆元。
• 可能存在(x==0)的情况，记得特判
• 快速乘，(longlong)，取模，务必小心。

int exbsgs (int A, int B, int p) {
    if (B == 1) return 0;
    int _gcd, cnt = 0, res = 1;
    while ((_gcd = gcd (A, p)) != 1) {
        if (B % _gcd) return -1;
        B /= _gcd, p /= _gcd, ++cnt;
        res = ((res % p) * (A / _gcd)) % p;
        if (res == B) return cnt;
    }
    int t = sqrt (p) + 1, tmp = 1;
    Hash.clear ();
    for (int i = 0; i < t; ++i) {
        Hash[(tmp * B) % p] = i;
        tmp = (tmp * A) % p;
    }
    res = (res * tmp) % p;
    for (int i = 1; i <= t; ++i) {
        if (Hash.find (res) != Hash.end ()) {
            return i * t - Hash[res] + cnt;
        }
        res = (res * tmp) % p;
    }
    return -1;
}