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  • Luogu P2619 [国家集训队2]Tree I 凸优化,wqs二分

    新学的科技。设(f(x))为选(x)条白色边的时候的最小生成树权值和,那么可以猜到它应该是一个下凸函数的形式。

    如图,图中(x)坐标表示选的白色边条数,(y)坐标表示获得的权值,那么我们就可以把(f(x))在这个图上大致表示出来。我们现在并不清除(x)(y),所以可以二分一下和这个凸函数相切直线的斜率。设这个直线为(y = kx + b),那么对于一个固定的(x),截距最小的时候,就是与函数相切的时候嘛,也是答案最优的时候。

    我们把这个直线转化成(y - kx = b)的形式。由于不清楚会选用几条边,所以可以提前给每一条白色边都减去一个(k),这样不管选几条边其影响都可以被直接统计。也就是说我们现在就可以忽略选几条边的问题直接去最小化截距(b)了。在最小化截距的同时我们对(y)的值和(x)的值做一个记录,这样就可以做出应该取用左区间还是右区间的判定啦。

    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    
    const int N = 50000 + 5;
    const int M = 100000 + 5;
    #define pii pair <int, int>
    #define mp(x,y) make_pair (x, y)
    
    struct Len {
    	int u, v, w, c;
    
    	void read () {
    		cin >> u >> v >> w >> c;
    	}
    	
    	bool operator < (Len rhs) const { 
    		return w == rhs.w ? c < rhs.c : w < rhs.w;
    	}
    }L[M];
    
    int n, m, k, fa[N];
    
    int find (int x) {
    	return x == fa[x] ? x : fa[x] = find (fa[x]);
    }
    
    pii Kruskal () {
    	for (int i = 0; i < n; ++i) fa[i] = i;
    	sort (L, L + m);
    	int cnt = 0, ret = 0, wht = 0;
    	for (int i = 0; i < m; ++i) {
    		int fu = find (L[i].u);
    		int fv = find (L[i].v);
    		if (fu != fv) {
    			cnt += 1;
    			fa[fu] = fv;
    			ret += L[i].w;
    			wht += L[i].c == 0;
    		}
    		if (cnt == m - 1) break;
    	}	
    	return mp (wht, ret);
    } 
    
    signed main () {
    //	freopen ("data.in", "r", stdin);
    	cin >> n >> m >> k;
    	for (int i = 0; i < m; ++i) {
    		L[i].read ();
    	}
    	int l = -150, r = 150, ans = 0;
    	while (l < r) {
    		int mid = (l + r) >> 1;
    		for (int i = 0; i < m; ++i) {
    			if (L[i].c == 0) { // 白色 
    				L[i].w -= mid;
    			}
    		} 
    		pii ret = Kruskal ();
    //		cout << "l = " << l << " r = " << r << " mid = " << mid <<  " ret = (" << ret.first << ", " << ret.second << ")" << endl; 
    		if (ret.first >= k) {
    			r = mid;
    			ans = ret.second + mid * k;
    		} else {
    			l = mid + 1;
    		}
    		for (int i = 0; i < m; ++i) {
    			if (L[i].c == 0) {
    				L[i].w += mid;
    			}
    		}
    	}
    //	cout << l << " " << r << endl;
    	cout << ans << endl;
    }
    
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