第1题
不断掷出一个均匀的六面骰子, 问首次掷出6前掷出的都是偶数的条件下, 首次掷出6的步数的期望?
观察到把条件中的6替换为1, 3, 5, 6结果都是一样的. 因此要求的期望等于首次掷出1, 3, 5, 6前掷出的都是偶数的条件下, 首次掷出1, 3, 5, 6的步数的期望, 等于首次掷出1, 3, 5, 6的步数的期望. 而后者是参数为(2/3)的几何分布的期望, 故而答案为(3/2).
第2题
不断掷出一个均匀的六面骰子, 问首次掷出6前掷出的数不降的条件下, 首次掷出6的步数的期望?
令(X)为首次掷出6的步数, (A)为首次掷出6前掷出的数不降这一事件. 则
[egin{equation*} P( X=n,A) =left(frac{5}{6}
ight)^{n-1}left(frac{1}{6}
ight) cdot frac{1}{5^{n-1}}egin{pmatrix} n+3\ 4 end{pmatrix} =frac{1}{6^{n}}egin{pmatrix} n+3\ 4 end{pmatrix} end{equation*}
]
那么
[egin{align*} E(X|A) & =sum ^{infty }_{n=1} nP( X=n|A) =sum ^{infty }_{n=1} nfrac{P( X=n,A)}{P( A)} =frac{sum ^{infty }_{n=1} nP( X=n,A)}{sum ^{infty }_{n=1} P( X=n,A)}\ & =frac{sum ^{infty }_{n=1}frac{n}{6^{n}}egin{pmatrix} n+3\ 4 end{pmatrix}}{sum ^{infty }_{n=1}frac{1}{6^{n}}egin{pmatrix} n+3\ 4 end{pmatrix}} end{align*}
]
使用生成函数求解得到
[egin{align*} sum ^{infty }_{n=1}frac{n}{6^{n}}egin{pmatrix} n+3\ 4 end{pmatrix} & =frac{6^{3}}{4!}left[ xleft(frac{6}{6-x}
ight)^{( 4)}
ight]^{'}_{x=1} =2cdot frac{6^{4}}{5^{5}}\ sum ^{infty }_{n=1}frac{1}{6^{n}}egin{pmatrix} n+3\ 4 end{pmatrix} & =frac{6^{3}}{4!}left[left(frac{6}{6-x}
ight)^{( 4)}
ight]_{x=1} =frac{6^{4}}{5^{5}} end{align*}
]
因此
[egin{equation*} E( X|A) =2 end{equation*}
]