<学习笔记> 数论

•  筛法

•   欧拉函数
•  逆元
• gcd、lcm、exgcd
• 快速幂
• 矩阵乘法
• 排列组合
• 分解质因数

1.筛法：

埃式筛 O( nloglogn )

void Shaifa()
{
    for(int i=2;i<=N;++i)
    {
        if(!pim[i]) 
        {
            q[++cnt]=i;
            for(int j=i*i;j<=N;j+=i)
                pim[j]=1;
        }
    }
}

欧拉筛（线性筛） O ( n )

void Shaifa()
{
    for(int i=2;i<=N;++i)
    {
        if(!pim[i]) q[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt&&(i*q[j])<=N;++j)
        {
            pim[i*q[j]]=1;
            if(i%q[j]==0)
                break;
        }
    }
}

2.欧拉函数：

φ（n）表示n的欧拉函数，对任意正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数。（1也算）（注意φ(1)=1）。（互质：公约数只有1）

欧拉函数的简介：

计算公式：

 

 

 

其中的pi为 x 的所有质因数，x为正整数。

其中的每种质因数只算一个，如 Φ（12）=12*（1-1/2）*（1-1/3）。

若n是质数p的k次幂，则，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。（p的倍数一共有 p^（k-1）个，1*p ,2*p...p^（k-1）*p）;

欧拉函数是积性函数——若m,n互质，则 

。

 

特殊性质：当n为奇数时，, 证明与上述类似。

若n为质数则 。

 

（摘自百度百科）

公式证明：

1.容斥定理

设p1,p2,p3...pm为n的质因子，则n的欧拉函数为n减去包含p1的不超过n的数的个数，减去包含p2的不超过n的数的个数，再加上包含p1和p2的质因子的个数。

得到公式：

化简得到

 

变形

2.中国剩余定理（摘自百度百科）

设A, B, C是跟m, n, mn互质的数的集，据中国剩余定理，A*B和C可建立一一对应的关系。因此φ(n)的值使用算术基本定理便知，

若

则

例如

 

 

 

与欧拉定理、费马小定理的关系

对任何两个互质的正整数a, m(m>=2)有

即欧拉定理

当m是质数p时，此式则为：

即费马小定理。

 

根据欧拉函数的性质，我们可以在线性的时间内筛出1~n中的每个数的欧拉函数值。

线性筛欧拉函数值：

前提：

   我们知道当n为质数p的k次幂(k>1)时，有Φ( n )= Φ(p^k)= p^k-p^(k-1) = (p-1)*p^(k-1),则 Φ(p^(k-1)) 即为 (p-1)*p^(k-2)。所以 Φ(p^k)=Φ(p^(k-1))*p; 我们知道对于一个任意的数都能表示为一个p^k*a的形式（p^k 与 a 互质），根据欧拉函数的积性，Φ((p^(k-1)*a)*p)=Φ(p^k*a)=Φ(p^k)*Φ(a)=Φ(p^(k-1))*Φ(a)*p=Φ( p^(k-1)*a)*p;

   令 p^(k-1)*a为x，则 Φ（x*p）=Φ(x)*p;

   所以对于一个质数p和正整数x，若p为x的约数，则 Φ（x*p）= Φ(x)* p;

   若p不为x的约数，根据积性,有 Φ(x*p)= Φ(x)*Φ(p)=Φ(x)*(p-1);

令 phi[n]表示n的欧拉函数，可以得到代码：

int cnt,N;
int phi[100010],pim[100010],can[100010];

void Done()
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;++i)
    {
        if(!can[i])  pim[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=cnt&&(i*pim[j])<=N;++j)
        {
            can[i*pim[j]]=1;
            if(i%pim[j]==0)
            {
                phi[i*pim[j]]=phi[i]*pim[j];
                break;
            }
            else  phi[i*pim[j]]=phi[i]*(pim[j]-1);
        }
    } 
}

3.逆元（乘法逆元）

若 ax≡1(mod p)，则a和x互为模p意义下的逆元。

一般应用，除法取模时把 a/b(mod p)转化为 a*(1/b)(mod p).

（1）费马小定理

可知 a*a^(p-2)≡1(mod p) , a^(p-2)≡ 1/a (mod p)。

（2）欧拉定理

若 a，p都为正整数，且a,p互质，则

（3）exgcd

  ax≡1(mod p)可转化为 ax+py=1，再求x，条件：a，p互质

（4）公式

 a/b(mod p)= a(mod)(pm)/b 。

 

证明：

(a/b）mod m = ans ；

a/b = ans + k * m ；

a = ans * b + k * m * b ；

a mod ( bm ) = ans * b ；

a mod ( bm ) / b = ans ；

得证。

4.gcd、lcm、exgcd

（未完待续qwq。。。）