I. Groups
在介绍向量空间之前有必要介绍一下什么Group，其定义如下：
注意定义中的(igotimes)不是乘法，而是一种运算符号的统一标识，可以是乘法也可以是加法等。
此外，如果(forall{x,y}∈mathcal{G}:x⊗y=y⊗x),那么此时(G=(mathcal{G,⊗}))是Abelian Group(阿尔贝群)。
举个栗子：
- ((Z,+))是group
- ((N_0,+))不是group，因为他没有inverse elements，即不满足定义中的第4个条件。
II. Vector Spaces
向量空间定义：
Group和Vector Space的区别在于前者只是在针对(mathcal{G})和在(mathcal{G})上的inner operation进行研究和讨论，而后者在其基础上还考虑了outer operation，由定义可以直观地看出差别和关系。
II. Vector Subspaces
向量子空间定义：
那么我们如何证明一个向量空间是另一个向量空间的子空间呢？我们需要做如下证明：
有一个比较特殊的向量子空间是Trivial Subspace(平凡子空间)，其性质为任意空间的平凡子空间是它本身和({0})。