title: 凸优化学习笔记(1)-基础概念
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基础定义
Affine & Convex
下面给出 Affine(仿射) 和 Convex(凸) 的定义(简单的记忆是将Affine类比成一条直线，而Convex则是一条线段):
令(Ssubseteq{R^n})是一个集合，那么：
- 如果对任意(x,yin S)且(ain R),有(ax+(1-a)yin S),则(S)为Affine。
- 如果对任意(x,yin S)且(ain[0,1]),有(ax+(1-a)yin S),则(S)为Affine。
其他基本定义
- Hyperplane(超平面)
[H(s, c)=left{x in mathbb{R}^{n} : s^{T} x=c
ight}
]
- Halfspaces(半空间)
[H^{-}(s, c)=left{x in mathbb{R}^{n} : s^{T} x leq c
ight}, H^{+}(s, c)=left{x in mathbb{R}^{n} : s^{T} x geq c
ight}
]
由上面的公式可以看到，半空间有两个方向。
- Euclidean Ball(球)
[B(overline{x}, r)=left{x in mathbb{R}^{n} :|x-overline{x}|_{2} leq r
ight}
]
- Ellipsoid(椭球)
[egin{array}{l}{ E(overline{x}, Q)=left{x in mathbb{R}^{n} :(x-overline{x})^{T} Q(x-overline{x}) leq 1
ight}}end{array}
]
其中(Q)是一个(n imes n)的对称,正定矩阵，用(Q in mathcal{S}_{++}^{n})表示，它能使得对于任意的(xin mathbb{R}^{n} ackslash{mathbf{0}})满足(x^TQx>0)。
- Simplex(单纯形)
[egin{array}{l}{ Delta=left{sum_{i=0}^{n} alpha_{i} x_{i} : sum_{i=0}^{n} alpha_{i}=1, alpha_{i} geq 0 ext { for } i=0,1, ldots, n
ight}}end{array}
]
其中(x_{0}, x_{1}, ldots, x_{n})是(R^n)里的向量，且满足(x_{1}-x_{0}, x_{2}-x_{0}, ldots, x_{n}-x_{0})线性独立，也就是说(x_0,x_1,...,x_n)affinely independent。
- Convex Cone(凸锥)
注意凸和锥是两个不同的概念：
如果对于一个集合(K)，若(forall{xin K}, {ax:a>0}subseteq K),则(K)是Cone(锥)。如果一个锥还是凸的，那么就称之为凸锥。
- Positive Semidefinite Cone(正半定锥)
[mathcal{S}_{+}^{n}=left{Q in mathcal{S}^{n} : x^{T} Q x geq 0 ext { for all } x in mathbb{R}^{n}
ight}
]