在开始之前，我们需要明确方程组可以转化成一组列向量的线性组合。什么意思呢？我们以下面一个例子进行介绍：
[x_1+2x_2+x_3 = 1 \
2x_1+3x_2+3x_3 = 3 \
x_1+3x_2+x_3=3
]
可转化成如下形式：
[left(egin{array}{ccc}{1} & {2} & {1} \ {2} & {3} & {3} \ {1} & 3 & 1end{array}
ight)left(egin{array}{l}{x_{1}} \ {x_{2}} \ {x_{3}}end{array}
ight)=left(egin{array}{l}{1} \ {3} \ {3}end{array}
ight)
]
所以实际上上面方程组的本质就是对([1,2,1]^T,[2,3,3]^T,[1,3,1]^T)三个列向量进行线性组合得到([1,3,3]^T)，至于如何组合就是X的解。
上面的方程组可以进一步用(AX=b)的形式表示，我们结合上面的方程组从如下两种情况来讨论方程组有无解的问题。
(b=0)
这种情况就是对三个列向量进行线性组合，最后得到原点。
-
如果(r(A)=n),即满秩(如图1)，那么(A)中所有列向量线性独立，换句话说就是其中一个列向量无法由其余的列向量线性表示，即不存在(k_2,k_3)满足(-a_1=k_2a_2+k_3a_3),所以此时只有(X=0)才有解，但是这并不是我们关心的解。
-
如果(r(A)<n)时(即图2),那么表示(A)中的列向量不是相互独立的，也就是说其中某一个列向量一定能由其他的列向量线性表示((-a1=k_2a_2+k_3a_3))，因此该情况有解。
(b≠0)
这种情况就是对三个列向量进行线性组合，最后得到一个向量(b)。
- 第一种情况：(r(A)=n),如图3所示，(A)中三个列向量线性独立，也就是说三个列向量是三个独立的基向量，所以任意的向量都能由这三个向量线性表示，而此时只有唯一解。
- 第二种情况：(r(A)=r([A|b])<n),如图4所示，此时有无限解。
- 第三种情况：(r(A)<r([A|b])),如图5，也就是说向量(b)属于一个新的维度。例如图5中(A)的三个列向量只构造出了一个二维空间，而(b)并不在这个二维空间里，因此无论如何也无法用三个列向量线性表示出(b)，因此这种情况无解。
总结
- (Ax=b)
- 若(r(A)=r([A|b])):
- (r(A)=r(B)=n),有唯一解
- (r(A)=r(B)<n),有无限多解
- 若(r(A)≠r(B))无解
- 若(r(A)=r([A|b])):
- (Ax=0)
- 若(r(A)=n)只有零解
- 若(r(A)<n)有无限解