网络流 Dinic

在一般的网络流中，FF和EK可能会造成一定的不稳定性而导致时间复杂度激增，而我们可以结合两个的优点和分层图来进行优化

其实Dinic算法可以理解为在分层图上跑FF算法，可以利用一些性质来进行优化

Dinic算法不断重复以下步骤，直到参量网络中S不能到达T

1.在残量网络上BFS求出分层图

2.在分层图上DFS寻找增广路，回溯时更新剩余容量。

有一些常用的剪枝

• 当前弧优化，每次刷完一条边时把对应的(lnk[x])对应到下一位，下一次开始刷的时候从新的(lnk[x])就可以了，具体实现用(now[x])

• 把增广完毕的点的(d[x])设为(0)下次不需要再增广此节点了

一道模板题

P3376 【模板】网络最大流

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=205,maxe=10005;
const LL INF=(LL)1<<60;
int S,T,N,M;
int son[maxe],nxt[maxe],lnk[maxn],cnt;
LL w[maxe],Ans;
int Q[maxn],d[maxn],now[maxn];
inline int read(){
	int ret=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-f;ch=getchar();}
	while(ch<='9'&&ch>='0')ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
	return ret*f;
}
inline void add_e(int x,int y,int z){
	son[++cnt]=y;nxt[cnt]=lnk[x];lnk[x]=cnt;w[cnt]=z;
}
bool bfs(){
	memset(d,0,sizeof d);
	int hed=0,til=1;Q[til]=S;now[S]=lnk[S];d[S]=1;
	while(hed!=til){
		hed++;
		for(int j=lnk[Q[hed]];j;j=nxt[j]){
			if(w[j]&&!d[son[j]]){
				Q[++til]=son[j];
				now[son[j]]=lnk[son[j]];
				d[son[j]]=d[Q[hed]]+1;
				if(son[j]==T)return 1;
			}
		}
	}
	return 0;
}
LL dinic(int x,LL flow){
	if(x==T)return flow;
	LL rest=flow,k=0,j;
	for(j=now[x];j&&rest;j=nxt[j])
		if(w[j]&&d[son[j]]==d[x]+1){
			k=dinic(son[j],min(rest,w[j]));
			if(!k)d[son[j]]=0;
			w[j]-=k;w[j^1]+=k;
			rest-=k;
		}
	now[x]=j;
	return flow-rest;
}
int main(){
	freopen("P3376.in","r",stdin);
	freopen("P3376.out","w",stdout);
	N=read();M=read();S=read();T=read();
	cnt=1;
	for(int i=1;i<=M;i++){
		int x=read(),y=read(),z=read();
		add_e(x,y,z);add_e(y,x,0);
	}
	LL flow=0;
	while(bfs())
		while(flow=dinic(S,INF))
			Ans+=flow;
	printf("%lld
",Ans);
	return 0;
}