ABC F Graph Smoothing 题解

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F - Graph Smoothing

给出一张图，\(N\) 个点 \(M\) 条边，每个点有一个初始权值 \(a_i\)

接下来有 \(K\) 次操作，每次相互独立

• 随机选中一条边 \(<u,v>\)，将 \(a_u\) 和 \(a_v\) 修改成\((a_u+a_v)/2\)

求出最后每个点的期望大小

solve

分别考虑 \(a_i\) 对自己的影响和其他的影响

设 \(d_i\) 为 \(i\) 的度

• 自己最自己影响

对于一个点，本来对他自己的贡献是 \(a_i\) ，但是由于和他连接的有 \(d_i\) 条边，所以他们被选中的概率是 \(d_i\over m\)，每一条边被选中，这个点 的贡献会从本来的 \(a_i\) 变成 \(a_i\over 2\)，所以用 \(1\) 减去少掉的贡献，所以自己对自己的贡献就是 \(a_i\times (1-{d_i\over {m\times 2}})\)

所以概率矩阵 \(a[i][i]= 1-{d_i\over {m\times 2}}\)

• 和自己连边的点对自己的贡献

对于任意一条边 \(<u,v>\)，显然选择到该边的概率为 \(1\over m\) ，一条边对自己的概率的影响是 \(1\over m\) ，所以概率矩阵 \(a[i][j]=1\over{2\times m}\)

剩下的就是矩阵快速幂，算出 \(k\) 时刻的期望，乘上 \(a_i\)就是期望了

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=105;
const LL TT=1e9+7;
int N,du[maxn],M,K,a[maxn];
LL ans;
struct Matrix{
	int V[maxn][maxn];
	Matrix(){memset(V,0,sizeof V);}
	friend Matrix operator *(Matrix A,Matrix B){
		Matrix C;
		for(int i=1;i<=N;i++)
			for(int j=1;j<=N;j++)
				for(int k=1;k<=N;k++)
					C.V[i][j]=(C.V[i][j]+1LL*A.V[i][k]*B.V[k][j])%TT;
		return C;
	}
}E,G;
inline int read(){
	int ret=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-f;ch=getchar();}
	while(ch<='9'&&ch>='0')ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
	return ret*f;
}
int Pow(int a,int b){
	int s=1,w=a;
	while(b){
		if(b&1)s=1LL*s*w%TT;w=1LL*w*w%TT;b>>=1;
	}
	return s;
}
int main(){
	freopen("F - Graph Smoothing.in","r",stdin);
	freopen("F - Graph Smoothing.out","w",stdout);
	N=read();M=read();K=read();
	for(int i=1;i<=N;i++) a[i]=read();
	for(int i=1;i<=M;i++){
		int x=read(),y=read();
		E.V[x][y]=E.V[y][x]=1;
		du[x]++;du[y]++;
	}
	int Inv_2m=Pow(2*M,TT-2);
	for(int i=1;i<=N;i++){
		for(int j=1;j<=N;j++)if(E.V[i][j]) E.V[i][j]=Inv_2m;
		E.V[i][i]=(1ll*2*M-du[i])*Inv_2m%TT;
	}
	for(int i=1;i<=N;i++) G.V[i][i]=1;
	while(K){
		if(K&1) 
			G=G*E;
		E=E*E;
		K>>=1;
	}
	for(int i=1;i<=N;i++){
		ans=0;
		for(int j=1;j<=N;j++)
			ans=(ans+(1ll*G.V[j][i]*a[j])%TT)%TT;
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}