[哈希][费用流]JZOJ 3296 【SDOI2013】刺客信条

Description

故事发生在1486 年的意大利，Ezio 原本只是一个文艺复兴时期的贵族，后来因为家族成员受到圣殿骑士的杀害，决心成为一名刺客。最终，凭借着他的努力和出众的天赋，成为了杰出的刺客大师，他不仅是个身手敏捷的武林高手，飞檐走壁擅长各种暗杀术。刺客组织在他的带领下，为被剥削的平民声张正义，赶跑了原本统治意大利的圣殿骑士首领-教皇亚历山大六世。在他的一生中，经历了无数次惊心动魄、扣人心弦的探险和刺杀。

曾经有一次，为了寻找Altair 留下的线索和装备，Ezio 在佛罗伦萨中的刺客墓穴进行探索。这个刺客墓穴中有许多密室，且任何两个密室之间只存在一条唯一的路径。这些密室里都有一个刺客标记，他可以启动或者关闭该刺客标记。为了打开储存着线索和装备的储藏室，Ezio 必须操作刺客标记来揭开古老的封印。要想解开这个封印，他需要通过改变某些刺客标记的启动情况，使得所有刺客标记与封印密码“看起来一样”。在这里，“看起来一样”

的定义是：存在一种“标记”密室与“密码”密室之间一一对应的关系，使得密室间的连接情况和启动情况相同（提示中有更详细解释）。幸运的是，在Ezio 来到刺客墓穴之前，在Da Vinci 的帮助下，Ezio 已经得知了打开储藏室所需要的密码。

而你的任务则是帮助Ezio 找出达成目标所需要最少的改动标记次数。

 

Input

第一行给出一个整数n，表示密室的个数。

第二行至第n 行，每行给出两个整数a 和b，表示第a 个密室和第b 个密室之间存在一条通道。

第n+1 行，给出n 个整数，分别表示当时每个密室的启动情况（0 表示关闭，1 表示启动）。

第n+2 行，给出n 个整数，分别表示密码中每个密室的启动情况。

Output

输出只有一行，即输出最少改动标记次数。

 

Sample Input

4

1 2

2 3

3 4

0 0 1 1

1 0 0 0

Sample Output

1

 

Data Constraint

对于30%的数据，n<=10。

对于60%的数据，n<=100。

对于100%的数据，n<=700，且每个密室至多与11 个密室相通。

 

Hint

样例解释：

密室的编号是可以变的！将第三个密室关闭后，在当前标记和密码之间，存在1->4,2->3,3->2,4->1 的对应关系，重新编号后连接情况没有改变，且标记与密码对应。对于更一般的情况，存在一个1 到n 的置换P，使得对于任意密室之间的道路u-v，都一定有密码密室中的道路P(u)-P(v)；如果不存在密室之间的道路u-v，则一定没有密码密室中的道路P(u)-P(v)。

分析

看懂题意后思路会较为清晰虽然我也讲不清楚，请dalao们感性理解

针对题目的动态根，我们可以考虑两棵树同用一个根，然后同构树有个神奇的性质：如果使强制使两棵树的重心为根，那么这两棵树同构当且仅当这两棵有根树同构

但是重心可能有两个呢，我们只需要断开两个重心之间的边，然后新建一个点连向两个重心，新点就是新重心了

我们可以想到树中同深度同构的部分可以交换以减少代价

同构？树哈希咯

处理出每个点的哈希值后，我们设f[u][v]为以u为根的子树和以v为根的子树同构，且完成u子树的初始状态到v子树的最终状态的最小代价

显然这个要从他们的儿子处转移上来

然后我们可以发现，转移的过程就是选择这两棵子树中的若干对点，选择一对的代价为f[su][sv]，使总代价最小

这是个带权二分图，可用KM算法或费用流算法解决

建议使用KM，费用流算法需要注意空间大小，代码复杂

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <memory.h>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
const int N=7e2+10;
const int P=76447;
struct Graph {
    int u,v,nx;
}g[2*N];
struct Cube {
    int u,v,nx,c,w;
}t[2*N*N+4*N];
int cnt,list[N],vis[2*N],dep[N],flow[2*N],dis[2*N],fa[2*N];
int g1,g2,sz[N],mxsize;
int h[N],xx[N],f[N][N],p[N];
int n,from[N],to[N],ans;

void Add(int u,int v) {
    g[++cnt]=(Graph){u,v,list[u]};list[u]=cnt;
    g[++cnt]=(Graph){v,u,list[v]};list[v]=cnt;
}

void Add_Cube(int u,int v,int w,int c) {
    t[++cnt]=(Cube){u,v,flow[u],c,w};flow[u]=cnt;
    t[++cnt]=(Cube){v,u,flow[v],0,-w};flow[v]=cnt;
}

void Find_G(int u,int f) {
    int size=0;
    sz[u]=1;
    for (int i=list[u];i;i=g[i].nx)
        if (g[i].v!=f) {
            Find_G(g[i].v,u);
            sz[u]+=sz[g[i].v];
            size=max(size,sz[g[i].v]);
        }
    size=max(size,n-sz[u]);
    if (size==mxsize) g2=u;
    if (size<mxsize) {
        mxsize=size;
        g1=u;
        g2=0;
    }
}

void Tree_Hash(int u,int f) {
    int xcnt=0;dep[u]=dep[f]+1;
    for (int i=list[u];i;i=g[i].nx) if (g[i].v!=f) Tree_Hash(g[i].v,u);
    for (int i=list[u];i;i=g[i].nx) if (g[i].v!=f) xx[++xcnt]=h[g[i].v];
    sort(xx+1,xx+xcnt+1);
    h[u]=17731;
    for (int i=1;i<=xcnt;i++) h[u]=(h[u]*7441%P+xx[i])%P;
    h[u]=h[u]*3119%P;
}

bool CMP(int u,int v) {
    return dep[u]!=dep[v]?dep[u]>dep[v]:h[u]<h[v];
}

bool SPFA() {
    queue<int> q;
    while (!q.empty()) q.pop();
    memset(dis,0x3f,sizeof dis);
    dis[0]=0;q.push(0);
    while (!q.empty()) {
        int u=q.front();q.pop();
        for (int i=flow[u];i;i=t[i].nx)
            if (dis[t[i].v]>dis[u]+t[i].w&&t[i].c) {
                dis[t[i].v]=dis[u]+t[i].w;
                fa[t[i].v]=i;
                if (!vis[t[i].v]) q.push(t[i].v);
                vis[t[i].v]=1;
            }
        vis[u]=0;
    }
    return dis[2*n+1]!=0x3f3f3f3f;
}

void Get_Ans() {
    int x=2*n+1,mf=2147483647;
    while (fa[x]) {
        ans+=t[fa[x]].w;
        mf=min(mf,t[fa[x]].c);
        x=t[fa[x]].u;
    }
    x=2*n+1;
    while (fa[x]) {
        t[fa[x]].c-=mf;
        t[fa[x]^1].c+=mf;
        x=t[fa[x]].u;
    }
}

int Min_Cost_Flow() {
    ans=0;
    while (SPFA()) Get_Ans();
    return ans;
}

void DP() {
    for (int i=1;i<=n;i++) p[i]=i;
    sort(p+1,p+n+1,CMP);
    for (int i=1;i<=n;) {
        int j=i;
        for (;j<=n;j++)
            if (dep[p[i]]!=dep[p[j]]||h[p[i]]!=h[p[j]]) break;
        for (int k=i;k<j;k++)
            for (int l=i;l<j;l++) {
                int u=p[k],v=p[l];
                cnt=1;memset(flow,0,sizeof flow);
                for (int sv=list[v];sv;sv=g[sv].nx)
                    if (dep[g[sv].v]==dep[v]+1)
                        Add_Cube(n+g[sv].v,2*n+1,0,1);
                for (int su=list[u];su;su=g[su].nx)
                    if (dep[g[su].v]==dep[u]+1) {
                        Add_Cube(0,g[su].v,0,1);
                        for (int sv=list[v];sv;sv=g[sv].nx)
                            if (dep[g[sv].v]==dep[v]+1&&h[g[su].v]==h[g[sv].v])
                                Add_Cube(g[su].v,n+g[sv].v,f[g[su].v][g[sv].v],1);
                    }
                f[u][v]=Min_Cost_Flow()+(from[u]!=to[v]);
            }
        i=j;
    }
}

int main() {
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1,u,v;i<n;i++) scanf("%d%d",&u,&v),Add(u,v);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&from[i]);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&to[i]);
    mxsize=n;
    Find_G(1,0);
    if (g2) {
        cnt=0;memset(list,0,sizeof list);
        for (int i=1,j=1;i<=n-1;i++,j=i*2-1)
            if ((g[j].u!=g1||g[j].v!=g2)&&(g[j].v!=g1||g[j].u!=g2))
                Add(g[j].u,g[j].v);
        Add(g1,n+1),Add(n+1,g2);
        n++;
        g1=n;
    }
    Tree_Hash(g1,0);
    DP();
    printf("%d",f[g1][g1]);
}