[背包]JZOJ 3232 【佛山市选2013】排列

Description

一个关于n个元素的排列是指一个从{1, 2, …, n}到{1, 2, …, n}的一一映射的函数。这个排列p的秩是指最小的k，使得对于所有的i = 1, 2, …, n，都有p(p(…p(i)…)) = i（其中，p一共出现了k次）。

例如，对于一个三个元素的排列p(1) = 3, p(2) = 2, p(3) = 1，它的秩是2，因为p(p(1)) = 1, p(p(2)) = 2, p(p(3)) = 3。

给定一个n，我们希望从n!个排列中，找出一个拥有最大秩的排列。例如，对于n=5，它能达到最大秩为6，这个排列是p(1) = 4, p(2) = 5, p(3) = 2, p(4) = 1, p(5) = 3。

当我们有多个排列能得到这个最大的秩的时候，我们希望你求出字典序最小的那个排列。对于n个元素的排列，排列p的字典序比排列r小的意思是：存在一个整数i，使得对于所有j < i，都有p(j) = r(j)，同时p(i) < r(i)。对于5来说，秩最大而且字典序最小的排列为：p(1) = 2, p(2) = 1, p(3) = 4, p(4) = 5, p(5) = 3。

 

Input

输入的第一行是一个整数T（T <= 10），代表数据的个数。

每个数据只有一行，为一个整数N。

Output

对于每个N，输出秩最大且字典序最小的那个排列。即输出p(1), p(2),…,p(n)的值，用空格分隔。

 

Sample Input

2

5

14

Sample Output

2 1 4 5 3

2 3 1 5 6 7 4 9 10 11 12 13 14 8

 

Data Constraint

对于40%的数据，有1≤N≤100。

对于所有的数据，有1≤N≤10000。

分析

稍作分析就可以发现这是要把一个正整数分为多个正整数，其最小公倍数最大的正整数组的最小字典序

考虑到排列很难构造，那我们直接构造最小公倍数

它必定是若干个质数的乘积

那么题中的最小公倍数则可以表示为

W=p1^c1*p2^c2*p3^c3…… p是质数 c是质数的指数,p之和不超过n

如果比n小怎么办？直接在排列最前端补足1 2 3 4 5 6……

那么可得f[i][j]为处理了第i个质数，和为j的最大最小公倍数（因为是质数直接乘）

f[i][j]=f[i-1][j-w]*w w为质数或质数的幂

至于答案，只需要用g[i][j]记录一下状态是从哪个状态转移过来的即可

注意，f的值会非常大，可以用自然对数法，也可以直接用double（本题几乎无视精度问题）

#include <iostream> 
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef double ld;
const int N=1e4+10;
int prime[1310],cnt;
bool b[N];
int t,n;
int from[1310][N],cunt,a[1310],acnt;
ld f[1310][N],mx; 

void Get_Prime() {
    for (int i=2;i<=10000;i++) {
        if (!b[i]) prime[++cnt]=i;
        int j=2*i;
        while (j<=10000) {
            b[j]=1;
            j+=i;
        }
    }
}

void Get(int last) {
    int dep=cnt;
    while (dep) {
        if (last-from[dep][last]) a[++acnt]=last-from[dep][last];
        last=from[dep][last];dep--;
    }
}

int main() {
    Get_Prime();
    for (scanf("%d",&t);t;t--) {
        scanf("%d",&n);
        if (n<5) {
            for (int i=2;i<=n;i++) printf("%d ",i);
            printf("1
");
            continue;
        }
        mx=0;
        for (int i=1;i<=cnt;i++)
            for (int j=0;j<=n;j++) f[i][j]=0;
        f[0][0]=1;
        for (int i=1;i<=cnt;i++) {
            int l=prime[i];
            for (int j=0;j<=n;j++) f[i][j]=f[i-1][j],from[i][j]=j;
            for (;l<=n;l*=prime[i]) {
                for (int j=l;j<=n;j++)
                    if (f[i][j]<f[i-1][j-l]*1.0*l) {
                        f[i][j]=f[i-1][j-l]*1.0*l;
                        from[i][j]=j-l;
                    }
            }
        }
        ld mx=0;int last;
        for (int i=1;i<=n;i++)
            if (mx<f[cnt][i]) {
                mx=f[cnt][i];
                last=i;
            }
        for (int i=1;i<=n-last;i++) printf("%d ",i);
        cunt=n-last;acnt=0;
        Get(last);
        sort(a+1,a+acnt+1);
        for (int i=1;i<=acnt;i++) {
            for (int j=2;j<=a[i];j++) printf("%d ",j+cunt);
            printf("%d ",1+cunt);
            cunt+=a[i];
        }
        printf("
");
    }
}