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  • 分式方程

    前言

    方程(equation)是指含有未知数的等式。是表示两个数学式(如两个数、函数、量、运算)之间相等关系的一种等式,使等式成立的未知数的值称为“解”或“根”。求方程的解的过程称为“解方程”。

    通过方程求解可以免去逆向思考[小学阶段的算术就是一种逆向思考的代表]的不易,直接正向列出含有欲求解的量的等式即可。方程具有多种形式,如一元一次方程(2x-1=0)、二元一次方程(x-2y+1=0)、一元二次方程(x^2-2x-1=0)等等,还可组成方程组求解多个未知数。

    在数学中,一个方程是一个包含一个或多个变量的等式的语句。 求解等式包括确定变量的哪些值使得等式成立。 变量也称为未知数,并且满足相等性的未知数的值称为等式的解。

    分式方程和整式方程统称有理方程。其中分式方程是分母含未知数的方程,如(cfrac{2x+1}{x^2-2}-cfrac{3-x}{x+2}=1);整式方程是等号两边都为整式的方程,如(x-2y=cfrac{1}{3}x+1)

    初等数学

    小学阶段

    整数、分数和小学的四则运算、数与代数、空间与图形、简单统计与可能性、一元一次方程,圆,正负数,立体几何初步。

    初中阶段

    代数部分:有理数(正数和负数及其运算),实数(根式的运算),平面直角坐标系,基本函数(一次函数,二次函数,反比例函数),简单统计,锐角三角函数,方程(一元一次方程,二元一次方程组,一元二次方程,三元一次方程组),因式分解、整式、分式、一元一次不等式。

    几何部分:全等三角形,四边形(重点是平行四边形及特殊的平行四边形),对称与旋转,相似图形(重点是相似三角形),圆的基本性质。

    高中阶段

    集合,基本初等函数(指数函数、对数函数,幂函数,高次函数),二次方程根的分布与不等式,柯西不等式,排列不等式,初等行列式,三角函数,解析几何与圆锥曲线(椭圆,抛物线,双曲线),复数,数列,高等统计与概率,排列组合,平面向量,空间向量,空间直角坐标系,导数以及相对简单的定积分。

    解题步骤

    ① 去分母

    方程两边同时乘以最简公分母最简公分母:①系数取最小公倍数;②未知数取最高次幂;③出现的因式取最高次幂;比如分母(2xy)(3x^2)的最简公分母为(6x^2y);(quad),将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时。不要忘了改变符号。

    ② 移项

    移项,若有括号应先去括号括号前面是加号时,去掉括号,括号内的算式不变。括号前面是减号时,去掉括号,括号内加号变减号,减号变加号。去括号法则的依据实际是乘法分配律,要注意,括号前面是"-"时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号,而忘记改变其余的符号。若括号前是数字因数时,应利用乘法分配律先将数与括号内的各项分别相乘再去括号,以免发生错误,遇到多层括号一般由里到外,逐层去掉括号。(quad),注意变号,合并同类项,把系数化为1,求出未知数的值;

    ③ 验根

    求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,使用了转化划归思想,我们人为的去掉了分母,这样就扩大了未知数的取值范围,可能产生增根中学阶段产生增根的数学变形有:两边去分母;两边平方;两边取掉对数;相应地,产生漏根的数学变形有:两边添分母;两边开平方;两边添加对数;

    验根时把整式方程的根代入最简公分母,如果最简公分母等于(0),这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根都是增根,则原方程无解。

    如果分式本身约分了,也要代入进去检验。比如(cfrac{(x-1)(x+2)}{x^2-1}=x-2)

    在列分式方程解应用题时,不仅要检验所得解的是否满足方程式,还要检验是否符合实际问题的题意。

    一般的,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零,因此要将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为零,则是方程的解.

    ★ 特别注意:

    (1)注意去分母时,不要漏乘整式项。

    (2)増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根,但不是原分式方程的根。

    (3)増根使最简公分母等于(0)

    (4)分式方程中,如果(x)为分母,则(x)应不等于(0)

    典例剖析

    分式方程

    解方程: (cfrac{x}{x-9}-cfrac{36}{x^{2}-14 x+45}=cfrac{2}{x-5})

    解:方程两边乘((x-9)(x-5)),得(x(x-5)-36=2(x-9))

    解得(x_{1}=9)(x_{2}=-2)

    检验:当(x=9)时, ((x-9)(x-5)=0)

    (x=-2)时,((x-9)(x-5) eq 0)

    所以原方程的解是(x=-2).

    解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程,具体做法是"去分母”,即方程两边同乘最简公分母,这也是解分式方程的一般思路和做法。

    解方程: (cfrac{x}{x+1}=cfrac{2x}{3x+3}+1)

    解:两边乘(3(x+1))

    得到(3x=2x+(3x+3))

    (3x=5x+3)

    (-2x=3)

    (x=-cfrac{3}{2})

    经检验, (x=-cfrac{3}{2})是方程的解

    解方程: (cfrac{2}{x-1}=cfrac{4}{x^2-1})

    解:两边乘((x+1)(x-1))

    整理得到,(2(x+1)=4)

    (2x+2=4)

    (2x=2)

    (x=1)

    (x=1)代入原方程,分母为0,所以(x=1)是增根。

    所以原方程无解.

    解方程: (cfrac{2}{x+3}=cfrac{1}{x-1})

    解: 两边乘((x+3)(x-1))

    整理得到,(2x-2=x+3)

    (2x-x=3+2)

    (x=5)

    经检验,(x=5)是方程的解.

    解方程: (2x-3+cfrac{1}{x-5}=x+2+cfrac{1}{x-5})

    解:两边同时减(cfrac{1}{x-5}),得(x=5)

    代入原方程,使分母为(0),所以(x=5)是增根,所以原方程无解!

    检验格式:把(x=a)带入最简公分母,若(x=a)使最简公分母为(0),则(a)是原方程的增根。若(x=a)使最简公分母不为零,则(a)是原方程的根。

    注意:可凭经验判断是否有解。若有解,带入所有分母计算:若无解,带入无解分母即可。

    关联高中

    解关于(x)的分式不等式(cfrac{1}{x}geqslant 1) .

    这个小例题基本上把分式不等式的求解思路都包含在内了。

    【错解】:去分母得到(xleq 1),这是错误的,原因是分母可能取到正负两种可能。

    【法1】:分类讨论去分母,由于(x eq 0),故原不等式等价于以下的两个不等式组:

    (egin{cases}&x>0\&1ge xend{cases})(egin{cases}&x<0\&1leq xend{cases}),解得(0<x leq 1)

    【法2】:穿针引线法,移项得到(cfrac{1-x}{x}ge 0),再变形得到(cfrac{x-1}{x}leq 0),解得(0<x leq 1)

    【法3】:转化法,由商的符号法则得到,(egin{cases}&x(1-x)ge 0\&x eq 0end{cases}),解得(0<x leq 1)

    解后反思:受解方程的思维定势的影响,学生最容易想到法1,但是却往往注意不到不等式的性质而直接去分母出错;法2的解法很快速,但是对学生的要求比较高;法3比较慢。

    解不等式(cfrac{2}{x+1}<1)

    提示:(x<-1或x>1).

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