初中|数学题目整理

前言

典例剖析

已知((x+y-3)^2+3|x-y-1|=0)，求(2x+y)的值；

• 在初中阶段，常用的非负式子有二次式，二次根式，绝对值式；其实也就是分别考查(y=x^2geqslant 0)，(y=sqrt{x}geqslant 0)，(y=|x|geqslant 0)的非负性的应用，

分析：由于((x+y-3)^2+3|x-y-1|=0)，

且((x+y-3)^2geqslant 0)，(3|x-y-1|geqslant 0)，

则须满足条件(left{egin{array}{l}{x+y-3=0}\{x-y-1=0}end{array} ight.)，

从而求得(x=2)，(y=1)，则(2x+y=5)；

变式1：已知((x+y-3)^2+3(x-y-1)^2=0)，求(2x+y)的值；

变式2：已知(|x+y-3|+3|x-y-1|=0)，求(2x+y)的值；

变式3：已知((x+y-3)^2+sqrt{x-y-1}=0)，求(2x+y)的值；

变式4：已知(sqrt{x+y-3}+sqrt{x-y-1}=0)，求(2x+y)的值；

变式5：已知(sqrt{x+y-3}+3|x-y-1|=0)，求(2x+y)的值；

变式6：已知(|a-7|+sqrt{b-24}+(c-25)^2=0)，求以(a,b,c)为三边的三角形面积。

提示：(7,24,25)为勾股数，三角形为(Rt riangle)，(S=84)；

说明：以上5个引申题目的求解过程和案例题目的求解过程完全相同；

[平面几何]如图，在(Rt riangle ABC)中，(angle ACB=90^{circ})，(AC=3)，(BC=4)，点(D)在(AB)上，(AD=AC)，(AFperp CD)交(CD)于点(E)，交(CB)于点(F)，则(CF)的长为【】

$A、1.5$ $B、1.8$ $C、2$ $D、2.5$

分析：容易知道，(AB=5)，在(Rt riangle ADE)和(Rt riangle ACE)中，由(HL)定理可知，( riangle ADEcong riangle ACE)

故(angle DAE=angle CAE)，即(AF)为角(A)的角平分线，设(CF=x)，则(FB=4-x)

则由角平分线定理可知，(cfrac{AC}{AB}=cfrac{CF}{FB})，即(cfrac{3}{5}=cfrac{x}{4-x})，

解得(x=1.5)，故选(A)。

[平面几何]如图，正方形(ABDE)，(CDFI)，(EFGH)的面积分别为(25)，(9)，(16)，( riangle AEH)，( riangle BDC)，( riangle GFI)的面积分别是(S_1)，(S_2)，(S_3)，则(S_1+S_2+S_3)的值为________。

分析：做出如图所示的辅助线，由(angle PDE)的两个余角分别为(angle EDF)和(angle BDP)，故(angle EDF=angle BDP)，

故( riangle EDFsim riangle BDP)，又由于斜边(BD=BE)，故( riangle EDFcong riangle BDP)，

同理可证，( riangle EDFcong riangle EAN)，

或者理解为将(Rt riangle EDF)绕点(D)顺时针旋转(90^{circ})得到(Rt riangle BDP)，

将(Rt riangle EDF)绕点(E)逆时针旋转(90^{circ})得到(Rt riangle EAN)，

这样(S_2=S_{ riangle BCP}-S_{ riangle BDP}=cfrac{1}{2} imes 4 imes(3+3)-cfrac{1}{2} imes 4 imes 3=6)；

(S_1=S_{ riangle AHN}-S_{ riangle EAN}=cfrac{1}{2} imes 3 imes(4+4)-cfrac{1}{2} imes 4 imes 3=6)；

又(S_3=cfrac{1}{2} imes 3 imes 4=6)；故(S_1+S_2+S_3=18)；

已知整数(X)，(Y)满足条件(sqrt{X}+2sqrt{Y}=sqrt{72})，那么整数对((X，Y))的个数为【】

$A.2$ $B.3$ $C.4$ $D.5$

法1：注意到题目的结构特征，(sqrt{X}geqslant 0)，则可知(0leqslant Yleqslant 18)，又(Yin N)，

故可以让(Y=0，1，cdots ，18)依次尝试，

(Y=0)时，(X=72)；(Y=2)时，(X=32)；(Y=8)时，(X=8)；(Y=18)时，(X=0)；

从而可以得到以下满足题意的整数对，((0,18))；((8,8))；((32,2))；((72,0))；故选(C)。

在( riangle ABC)中，(AB=13cm)，(AC=20cm)，(BC)边上的高为(12cm)，则( riangle ABC)的面积为__________。

分析：由题目的已知条件可以做出适合题意的两种图形如下所示，分别为锐角三角形和钝角三角形，

从而计算面积得到(S_{ riangle ABC}=126cm^2)或者(S_{ riangle ABC}=66cm^2)；

解后反思：本题目其实涉及到高中的三角形个数的判断，主要考查初中学生的分类讨论意识；

完全平方公式

勾股定理