2017北大优秀中学生夏令营
已知$omega $是整系数方程$x^2+ax+b=0$的一个无理数根,
求证:存在常数$C$,使得对任意互质的正整数$p,q$都有$$|omega-dfrac{p}{q}|ge dfrac{C}{q^2}$$
分析:这题涉及的背景知识是数论里的最佳有理逼近和Liouville超越数定理.
一般的$omega $是整系数方程$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+cdots+a_0=0$的一个根,
则显然存在$C=C(omega)=max{dfrac{1}{q^n},n*maxlimits_{k=1,2,cdots,n}|ka_k^{k-1}|}$,
当$omega-1<x<omega+1$ 时$|f^{'}(x)|=|na_nx^{n-1}+cdots+a_1|<C$,故
若$dfrac{p}{q}in[omega-1,omega+1]$时
由拉格朗日中值定理$f(dfrac{p}{q})-f(omega)=(dfrac{p}{q}-omega)f^{'}(eta)$
又$f|(dfrac{p}{q})|=dfrac{|a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}q+cdots+a_0q^n|}{q^n}ge dfrac{1}{q^n}$
故$|omega-dfrac{p}{q}|=dfrac{|f(dfrac{p}{q})|}{|f^{'}(eta)|}>dfrac{1}{Cq^n}$
若$dfrac{p}{q}
otin[omega-1,omega+1]$时
$|omega-dfrac{p}{q}|>1gedfrac{1}{Cq^n}$
注:
Liouville 定理:任意$n$次实代数数不能有$n$次以上的有理渐进分数.
即:若是一个$n$次代数数,则对任意$epsilon>0,A>0$,不等式
$$|omega-dfrac{p}{q}|<dfrac{A}{q^{n+epsilon}}$$的整数解$(p,q)$的个数有限.
注:若$omega$为无理数.则有无穷个整数解$(p,q)$使得$|omega-dfrac{p}{q}|<dfrac{1}{2q^2}$
注:(Hruwitz)若$omega$为无理数.则有无穷个整数解$(p,q)$使得$|omega-dfrac{p}{q}|<dfrac{1}{sqrt{5}q^2}$,这里的$sqrt{5}$是最佳的。