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  • MT【346】拐点处分界

    已知函数$f(x)=-x^3+9x^2-26x+27$,对任意$k>0$,直线$y=kx+a$与曲线$y=f(x)$有唯一公共点,求$a$的取值范围.


    分析:$f^{"}(x)=-6x+18$,如图,$f(x)$在$(-infty,3)$下凸,$(3,+infty)$上凸.拐点$P(3,f(3))$处的切线方程为$y=x$.
    $f(x)$的极大值为$M(3+dfrac{sqrt{3}}{3},3+dfrac{2sqrt{3}}{9})$,记$Q(0,a)$ 由图可知

    1)$age3+dfrac{2sqrt{3}}{9}$时$y=kx+a$与$y=f(x)$图像只有唯一一个公共点.

    2)$ain[3,3+dfrac{2sqrt{3}}{9})$时,由于$k>0$故有三个公共点.
    3)$ain(0,3)$时,有三个公共点.
    4)$ain(-infty,0]$时,
    若$kin(0,k_{PQ})$,直线与曲线上凸部分有唯一公共点;
    若$k=k_{PQ}$直线与曲线有唯一公共点$P$;
    若$kin(k_{PQ},+infty)$,直线与曲线下凸部分有唯一公共点.
    综上,$ain(-infty,0]cup[3+dfrac{2sqrt{3}}{9},+infty) $

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/mathstudy/p/11349810.html
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