(2017湖南省高中数学竞赛16题)
(AB)是椭圆(mx^2+ny^2=1(m>0,n>0,m
e n))的斜率为 1 的弦.(AB)的垂直平分线与椭圆交于两点(CD)
(1)求证:(|CD|^2-|AB|^2=4|EF|^2) 其中(E,F)为(AB,CD) 的中点.
(2)证明:(A,B,C,D) 四点共圆.
证明第(2)问： 设(AB,CD)的交点(P(x_0,y_0)),过点(P)的直线方程为
[egin{equation*}
left{ egin{aligned}
x &= x_0+t \
y&=y_0+kt
end{aligned}
ight.
end{equation*}]
与椭圆联立可得 (m(x_0+t)^2+n(y_0+kt)^2=1);
整理得 ((m+nk^2)t^2+2(mx_0+ny_0k)t+mx_0^2+ny_0^2-1=0)
得到(t_1t_2=dfrac{mx_0^2+ny_0^2-1}{m+nk^2} ( extbf{为定值})) (由题意这里 (k=pm 1))
故由相交线定理可得(A,B,C,D)四点共圆.
事实上,由上面的证明过程我们可以得到更一般的结论:非圆二次曲线，如果对称轴在 (x) 轴或者(y)轴上(相当于没有xy交叉项).对应的(AC)与(BD)直线如果斜率互为相反数(保证了(k^2)相等),则四点共圆.