在平面上有(n) 个点$S={x_1,x_2cdots,x_n}, $ 证明在这 (n) 个点中距离为 (1) 的点对数不超过 (dfrac{n}{4}+dfrac{2}{2}n^{frac{3}{2}}).
证明:如果两点间距离为 1 则相连,所以要求距离为 1 的点对数就是图 G 中的边数.我们只需证明:边数(|E|le dfrac{n}{4}+dfrac{2}{2}n^{frac{3}{2}})
证明:(n)个圆中两两交点总数不超过(2C_n^2=n(n-1))个(包括重复).
用(D_k,(k=1,2cdots,n))表示以(v_k)为圆心,半径为 1 的圆,如果 (v_k)与(v_i,v_j)相邻,
则 $ v_kin D_icap D_j $ , 因此 $ v_k $ 作为 $ D_1,D_2,cdots,D_n $ 中两圆的交点恰好被计数 (C_{d(v_k)}^2) 次.
故$$egin{align}
n(n-1)&gesumlimits_{k=1}{n}{C_{d(v_k)}2}
&gedfrac{2}{n}|E|^2-E.quad ( extbf{利用柯西和}2|E|=sumlimits_{k=1}^{n}{d(v_k)})
end{align}$$
( herefore |E|le dfrac{n}{4}+dfrac{2}{2}n^{frac{3}{2}})