已知数列({a_n})满足(2a_{n+1}=1-a_n^2)，且(0<a_1<1)．求证：当(ngeqslant 3) 时，(left|dfrac{1}{a_n}-left(sqrt 2+1
ight)
ight|<dfrac{12}{2^n})．
解答:
设迭代函数(f(x)=dfrac 12left(1-x^2
ight))，那么函数的不动点为(x=sqrt 2-1)，一个保值区间是(left[0,dfrac 12
ight])．
考虑到(0<a_1<1)，于是(0<a_2<dfrac 12)，从而(dfrac 38<a_3<dfrac 12)．
由不动点改造递推数列得$$|a_{n+1}-(sqrt 2-1)|=dfrac 12|a_n-(sqrt 2-1)|cdot|a_n+sqrt 2-1|<dfrac 12|a_n-(sqrt 2-1)|,$$又当(n=3) 时，(|a_3-(sqrt 2-1)|<dfrac 18)，于是当(ngeqslant 3)时，有$$left|a_n-left(sqrt 2-1
ight)
ight|<dfrac{1}{2^n}.$$ 而欲证明不等式即$$left|dfrac{left(sqrt 2-1
ight)-a_n}{a_nleft(sqrt 2-1
ight)}
ight|<dfrac{12}{2^n},$$于是只需要证明$$left|a_nleft(sqrt 2-1
ight)
ight|>dfrac{1}{12},$$也即$$a_n>dfrac{sqrt 2+1}{12},ngeqslant 3.$$事实上，当(ngeqslant 3) 时，有$$a_n>dfrac 38>dfrac{sqrt 2+1}{12},$$于是原命题得证．
评:此类不动点题型，在做之前就有一个潜台词：(a_n)的范围可以通过作图可以做题前得到,后面问你的东西可以由这个潜台词去构造。