(2012浙江压轴题)
已知$a>0,bin R$,函数$f(x)=4ax^3-2bx-a+b$.
1)证明:当$0le xle 1$时,
i)函数$f(x)$的最大值为$|2a-b|+a;$
ii)$f(x)+|2a-b|+age0$
2)若$-1le f(x)le 1$对$xin[0,1]$恒成立,求$a+b$的范围.
证明:$f(0)=b-a,f(1)=3a-b$故$f(0)+f(1)=2a>0$,
所以$max{f(0),f(1)}=max{|f(0)|,|f(1)|}$
又$|2a-b|+a=max{|a-b|,|3a-b|}=max{|f(0)|,|f(1)|}$
egin{align*}
herefore |f(x)|
& =|(2x^3-3x+1)f(0)+(2x^3-x)f(1)| \
&le|(2x^3-3x+1)||f(0)|+|(2x^3-x)||f(1)|\
&leleft(|(2x^3-3x+1)|+|(2x^3-x)|
ight)max{|f(0)|,|f(1)|}\
&=max{left(|-2x+1|,|4x^3-4x+1|
ight)}(|2a-b|+a)\
&le|2a-b|+a
end{align*}
最后一个不等式是因为$xin[0,1]$时$|-2x+1|le1,$
且$1ge4x^3-4x+1=1-2x(2-2x)(1+x)ge1-2left(dfrac{x+2-2x+1+x}{3}
ight)^3=-1$
故第一题i)ii)得证。
2)由$|f(x)|le1$得$|f(x)le1$，即$|2a-b|le 1-a$,故
$a+b=-1+3a+(1-a)-(2a-b)ge-1+3a+|2a-b|-(2a-b)>-1$当$alongrightarrow0,b=-1$时取到下确界.
$a+b=3-3(1-a)-(2a-b)le3-3|2a-b|-(2a-b)le3$当且仅当$a=2,b=1$时取到最大值.
注:1当然第二问用线性规划也是显然的.此题系数怪异其实也是和积分对应的几何意义有关.
2.还是$|a|+|b|=max{|a-b|,a+b|}$
3.$2max{f,g}=|f-g|+f+g$
4.$max{a,b}ge M_t{a,b}$(a,b的幂平均)
此题这个漂亮的做法若干年前也是自己想到的,但是一直没有很好的保存，现在重新按照思路编辑，感慨万千，留个纪念.