(2018中科大自招)
设$S={1,2,3,4,5}$则满足$f(f(x))=x$的映射:$S longrightarrow S$的个数____
解答:由于$a
e b$时必须满足$f(a)=b,f(b)=a$
故按$(a,b)$的点对个数分类:0对有1个;1对$C_5^2$个;2对$dfrac{C_5^2C_3^2}{2}$ 个;故一共有$1+10+15=26$个.
推广:
设$S={1,2,cdots,n}$则满足$f(f(x))=x$的映射:$S longrightarrow S$的个数____
提示:我们可以构造递推式:设$a_n$为满足此映射的个数;则
egin{equation*}
left{ egin{aligned}
a_{n+1}&=a_n+na_{n-1}\
a_1=1&;a_2=2
end{aligned}
ight.
end{equation*}
此类题型很多:
1.（2006浙江高考改编)
设$S={1,2,3}$则满足$f(f(x))=f(x)$的映射:$S longrightarrow S$的个数___
提示:共有10种
2.(日本,1996)
设$S={1,2,3,4,5,6}$则满足$f(f(f(x)))=x$的映射:$S longrightarrow S$的个数___
提示:共有81种.
3.(浙江,2006)
设$S={1,2,cdots,10}$则满足$f^{(21)}(x)=x, extbf{且}f(x)
e x$的映射:$S longrightarrow S$的个数____
提示:一共有$C_{10}^76!2!$个