(2011年AAA测试)将一枚均匀的硬币连续抛掷$n$次,以$P_n$ 表示未出现连续3次正面的概率.求${P_n}$.并讨论${P_n}$单调性和极限.
分类讨论:
第$n$次反面则未出现连续3次正面的概率为$dfrac{1}{2}P_{n-1}$
第$n$次正面第$n-1$次反面则未出现连续3次正面的概率为$dfrac{1}{4}P_{n-2}$
第$n$次正面第$n-1$次正面第$n-2$次反面则未出现连续3次正面的概率为$dfrac{1}{8}P_{n-3}$
故$P_n=dfrac{1}{2}P_{n-1}+dfrac{1}{4}P_{n-2}+dfrac{1}{8}P_{n-3}$
故$P_{n+1}=dfrac{1}{2}P_{n}+dfrac{1}{4}P_{n-1}+dfrac{1}{8}P_{n-2}$
易得$P_{n+1}-P_n=-dfrac{1}{16}P_{n-3}<0$
故${P_n}$单调递减有下限,故有极限,$limlimits_{n
ightarrow+infty}P_n=0$
可见小概率事件在试验次数足够多时也会发生.