博弈

先占个坑 等做了题再慢慢添加东西

先来个干货 大神的博弈小结

做个笔记：

规定： 利己状态定义为T（非奇异局势）

          利他状态定义为S（奇异局势）

重要结论： T可转化为（S，T），S只能转化为（T） 非奇异局势一定可以转化为奇异局势和非奇异局势，而奇异局势只能转化为非奇异局势

 博弈类题目小结（HDU,POJ,ZOJ）

经典博弈：

1.Bash Game 巴什博弈

有一堆数量为n的石子 2个人轮流取m（m>=1&&m<=n）个石子，取完者获胜

我们可以很容易的找到一个必败态 （下文必胜必败都是针对先手）即n=m+1时

因为无论先手取多少石子，后手都可以取完

然后我们可以假设一个必败态 n=(m+1)*k(k=1,2,3....)

证明：

当k=1时显然成立

当k=2时，无论先手取多少石块，后手都可以使状态达到n=m+1 即k=1的状态

当k=3时，无论先手取多少石块，后手都可以使状态达到n=(m+1)*2 即k=2时的状态

。。。

当k=x时，无论先手取多少石块，后手都可以使状态达到n=(m+1)*(x-1) 即k=x-1的状态

证毕，假设成立

由此我们可以得到一个结论 即 在Bash Game中

n=(m+1)*k(k=1,2,3...)先手必败

n=(m+1)*k+s(k=1,2,3...1=<s<=m) 先手必胜

2.Wythoff Game 威佐夫博弈（转自Demon）

有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取完者得胜。这种情况下是颇为复杂的。

可以用两个数（a[k],b[k]）（ps：（a[k]≤b[k]）k为一个自然数)表示两堆物品的数量。如果该数量为奇异局势，那么先手输;

 前几个奇异局势如下：（0,0,）、（1,2）、（3,5）、（4,7）、（6,10）······起始值a[0]=b[0]=0;k=0;

可以看出a[k]是在之前未出现过的最小自然数，而b[k] = a[k]+k，k代表出现的第几个奇异局势；

 性质：

 1.任何自然数都包含在一个且仅有一个的奇异局势中。

 证明：若(a[k],b[k])为一个奇异局势，因为b[k]=a[k]+k，a[k]>a[k-1]  =》  b[k] >a[k-1]+k >a[k-1]+k-1 =》 b[k-1] > a[k-1].

 2.任何操作都会将奇异局势变成非奇异局势

 由性质1可知，即使是同时减少，两个数的差值不变，所以不可能成为其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势；

 3.可采用适当的方法将非奇异局势变为奇异局势，那么下一个必输；

结论：两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜；反之，则后拿者取胜。

那么任给一个局势（a，b），怎样判断它是不是奇异局势呢？

我们有如下公式：a表示第一堆的个数，b表示第二堆的个数，c表示二者之差，当然a必须小于b;

再找规律的话我们会发现，a= c* 1.618 

而1.618 = （sqrt（5）+ 1） /  2 。

大家都知道0.618是黄金分割率。而威佐夫博弈正好是1.618，这就是博弈的奇妙之处！

HDU1527

AC代码 直接用1.618会wa 不知道为什么 还是用 (sqrt(5.0)+1.0)/2.0;

#include "stdio.h"
#include "cmath"
#define min(a,b) a < b ? a : b
using namespace std;

int main()
{
    int a,b,c,m;
    while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF)
    {
        m=min(a,b);
        int p=(int)(abs(a-b)*(sqrt(5.0)+1.0)/2.0);
        printf("%d
",m==p ? 0 : 1);
    }
    return 0;
}

3.Nimm Game 尼姆博弈

n堆石块 每堆xi块 每次可以取走一堆的任意块 或者同时取走2堆的数量相同的石头

这里可以用异或大家都知道 可是为什么可以用异或 在这里讨论一下

先了解一下异或运算--

异或又称做没有进位的加法 故名思意 例如二进制 1+1 = 10 不进位 则 1+1=(1) 0 == 0 ,1+0=1,0+1=1,0+0=0;

那么在尼姆博弈里异或 的意义是什么呢？

又异或性质可知，一个数异或本身等于0，也就是2个相同的数异或和为0，任意数异或0等于它本身

也就是说，在尼姆博弈里，如果出现了2个相同数量的石堆，那么他们之间异或等于0，也就是可以理解为2堆数量相同的石堆无论数量多少对博弈的结果没有影响 

如果还不太理解我们可以这样理解；

假设有n堆石块，且这n堆石块数量各不同，现在加入2堆数量相同的石块

现在单独讨论这2堆石块，假设在第一堆中 A为先手，且A最终拿完这一堆（无论中间过程怎么拿），然后在另一堆中变成了B为先手，显然在这一堆中B最终能拿完这一堆

现在回到整个博弈，B拿完第二堆的时候A变成了先手，是不是回到了最开始，感觉很神奇？其实不，仔细想一想是可以想明白的

同理出现过偶数堆的都对结果没有影响