62. 不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

　　　　机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

　　问总共有多少条不同的路径？

 　　

　　例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

　　说明：m 和 n 的值均不超过 100。

　　示例 1:

　　　　输入: m = 3, n = 2
　　　　输出: 3
　　解释:
　　从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
　　　　1. 向右 -> 向右 -> 向下
　　　　2. 向右 -> 向下 -> 向右
　　　　3. 向下 -> 向右 -> 向右
　　示例 2:

　　　　输入: m = 7, n = 3
 　　　　输出: 28

思路一：排列组合

因为机器到底右下角，向下几步，向右几步都是固定的，

比如，m=3, n=2，我们只要向下 1 步，向右 2 步就一定能到达终点。

所以有 C_{m+n-2}^{m-1}C

思路二：动态规划

我们令 dp[i][j] 是到达 i, j 最多路径

动态方程：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

注意，对于第一行 dp[0][j]，或者第一列 dp[i][0]，由于都是在边界，所以只能为 1

时间复杂度：O(m*n)O(m∗n)

空间复杂度：O(m * n)O(m∗n)

优化：因为我们每次只需要 dp[i-1][j],dp[i][j-1]

（1）：

package array;

import java.util.Arrays;

public class L62_2 {
    public static int uniquePaths(int m, int n) {
          int[] cur = new int[n];
            Arrays.fill(cur,1);
            for (int i = 1; i < m;i++){
                for (int j = 1; j < n; j++){
                  cur[j] += cur[j-1] ;
                }
            }
            return cur[n-1];
    }
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(uniquePaths(51,9));
    }
}

（2）：

package array;

public class L62_1 {
    public static int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] ma = new int[m][n];
        for(int indexm = 0;indexm < m;indexm++){
            for (int indexn = 0;indexn < n;indexn++){
                if(indexm == 0 || indexn == 0){
                    ma[indexm][indexn] = 1;
                }else{
                    ma[indexm][indexn] = ma[indexm][indexn-1] + ma[indexm-1][indexn];
                }
            }
        }
        return ma[m-1][n-1];
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(uniquePaths(51,9));
    }

}