算法一：穷举式地尝试所有的可能
int maxSubsequenceSum(const int a[], int n){ ?int i, j, k; ?int thisSum, maxSum=0; ?for (i=0; i < n; i++) ? ? ?for (j=i; j < n; j++) ? ? ?{ ? ? ? ? ?thisSum=0; ? ? ? ? ?for (k=i; k < j; k++) ? ? ? ? ? ? ?thisSum +=a[k]; ? ? ? ? ?if (thisSum > maxSum) ? ? ? ? ? ? ?maxSum=thisSum; ? ? ?} ?return maxSum;?}
算法复杂度为O(n^3)（三重for循环）
算法二：算法一的改进
int maxSubsequenceSum(const int a[], int n){ ?int i, j; ?int thisSum, maxSum=0; ?for (i=0; i < n; i++) ?{ ? ? ?thisSum=0; ? ? ?for (j=i; j < n; j++) ? ? ?{ ? ? ? ? ?thisSum +=a[j]; ? ? ? ? ?if (thisSum > maxSum) ? ? ? ? ? ? ?maxSum=thisSum; ? ? ?} ?} ?return maxSum;?}
该算法去除了算法一中不必要的计算，时间复杂度为O(n^2)（两重for循环）。
分治策略：
分：把问题分成若干个（通常是两个）规模相当的子问题，然后递归地对它们求解。
治：将若干个问题的解4合并到一起并可能再做少量的附加工作，最后得到整个问题的解。
在这个问题中，最大子序列和可能在三处出现：即左半部序列、右半部序列、穿过中部从而占据左右两半部分的序列。前两种情况可以通过递归求解。而递归的基准情况（base cases）是序列只有一个元素（left==right），若该元素大于0，则返回该元素，否则返回0。第三种情况的最大和可以通过分别求出左边部分（包含左半部分最后一个）的最大和以及右边部分（包含右边部分的第一个）的最大和，再将它们相加得到。
int maxSubsequenceSum(const int a[], int left, int right)
?{
?int i, mid, maxLeftSum, maxRightSum;
?int maxLeftBorderSum, leftBorderSum;
?int maxRightBorderSum, rightBorderSum;
?if (left==right) { ? ? ? ? ? ?
? ? ?if (a[left] >=0)
? ? ? ? ?return a[left];
? ? ?else
? ? ? ? ?return 0;
?}
?mid=left + (right - left) / 2;
?maxLeftSum=maxSubsequenceSum(a, left, mid); ? ? ? ? ?maxRightSum=maxSubsequenceSum(a, mid+1, right); ?
?
?maxLeftBorderSum=0, leftBorderSum=0;
?for (i=mid; i >=left; i--)
? ?
?{
? ? ?leftBorderSum +=a[i];
? ? ?if (leftBorderSum > maxLeftBorderSum)
? ? ? ? ?maxLeftBorderSum=leftBorderSum;
?}
?maxRightBorderSum=0, rightBorderSum=0;
?for (i=mid+1; i <=right; i++) ? ?
?{
? ? ?rightBorderSum +=a[i];
? ? ?if (rightBorderSum > maxRightBorderSum)
? ? ? ? ?maxRightBorderSum=rightBorderSum;
?}
?
?return max3(maxLeftSum, maxRightSum, maxLeftBorderSum+maxRightBorderSum);?
}?
?int max3(int a, int b, int c)?
{
?int maxNum ?=a;
? ? if (b > maxNum)?
? ? ?maxNum=b;
?if (c > maxNum)
? ? ?maxNum=c;
?return maxNum;
?}
以序列2，4，-1，-5，4，-1为例，其左半部分最大和为2 +
4=6；右半部分最大和为4，穿过中心的最大和为（-1 + 4 + 2）+ （-5 +
4）=0。故该序列的最大子序列和为max（6，4，0）=6。
时间复杂度分析:?假设T(n)为求解大小为n的最大子序列和问题所花费的时间。当n=1是，T(1)=O(1)；当n
>
1时，两次递归花费的总时间为2T(n/2),两个并列的for循环花费的时间是O(len(left)+len(right))=O(n)，一共为2T(n/2)+O(n)。综上可列如下方程组：
T(1)=1
T(n)=2T(n/2) +
O(n)
事实上，上述方程组常常通用于分治算法，由方程组可算出T(n)=O(nlogn)。
算法三利用递归较好的解决了最大子序列和问题，但仔细分析，在递归过程中，同一个元素很可能多次被操作，有没有更高效的算法？先上代码
int maxSubsequenceSum(const int a[], int n){ ?int i; ?int maxSum, thisSum; ?maxSum=thisSum=0; ?for (i=0; i < n; i++) ?{ ? ? ?thisSum +=a[i]; ? ? ?if (thisSum > maxSum) ? ? ? ? ?maxSum=thisSum; ? ? ?else if (thisSum < 0) ? ? ? ? ?thisSum=0; ?} ?return maxSum;?}
可以简单的分析出上述代码的时间复杂度是O(n),比前三种都高效。它为什么是正确的？从直观上理解：首先for循环的if语句保证了每次更新后最大和保存在maxSum中，father的音标而我们从i=0开始扫描，假设扫描到i=t(t < n)，且此时的最大和已经保存在maxSum中，而当前的和（thisSum）如果大于0，不管当i > t的元素大小如何，加上thisSum总会使之后的和变大，而如果thisSum小于0，肯定会使之后的和变小，既然还会变小，那干脆就重新来过（thisSum=0），有些另起炉灶的意味。
该算法一个附带的优点是，它只对数据进行一次的扫描，一旦a[i]被读入并被处理，它就不再需要记忆。因此，如果数组在磁盘或磁带上，它就可以被顺序读入，在主存中不必储存数组的任何部分。不仅如此，在任意时刻，该算法都能对它已经读入的数据给出子序列问题的正确答案（其他算法即前三种不具有这个特性）。具有这种特性的算法叫做联机算法（online algorithm）。仅需要常量空间并以线性时间运行的online algorithm几乎是完美的算法。————《数据结构与算法分析》（中文版第二版）
文章来源：https://blog.csdn.net/rlnLo2pNEfx9c/article/details/80221777