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《算法导论》读书笔记之第16章 贪心算法—活动选择问题
前言：贪心算法也是用来解决最优化问题，将一个问题分成子问题，在现在子问题最优解的时，选择当前看起来是最优的解，期望通过所做的局部最优选择来产生一个全局最优解。书中先从活动选择问题来引入贪心算法，分别采用动态规划方法和贪心算法进行分析。本篇笔记给出活动选择问题的详细分析过程，并给出详细的实现代码进行测试验证。关于贪心算法的详细分析过程，下次在讨论。
1、活动选择问题描述
有一个需要使用每个资源的n个活动组成的集合S= {a1，a2，···，an }，资源每次只能由一个活动使用。每个活动ai都有一个开始时间si和结束时间fi，且 0≤si<fi<∞ 。一旦被选择后，活动ai就占据半开时间区间[si,fi)。如果[si,fi]和[sj,fj]互不重叠，则称ai和aj两个活动是兼容的。该问题就是要找出一个由互相兼容的活动组成的最大子集。例如下图所示的活动集合S，其中各项活动按照结束时间单调递增排序。
从图中可以看出S中共有11个活动，最大的相互兼容的活动子集为:{a1，a4，a8，a11，}和{a2，a4，a9，a11}。
2、动态规划解决过程
（1）活动选择问题的最优子结构
定义子问题解空间Sij是S的子集，其中的每个获得都是互相兼容的。即每个活动都是在ai结束之后开始，且在aj开始之前结束。
为了方便讨论和后面的计算，添加两个虚构活动a0和an+1，其中f0=0，sn+1=∞。
结论：当i≥j时，Sij为空集。
如果活动按照结束时间单调递增排序，子问题空间被用来从Sij中选择最大兼容活动子集，其中0≤i＜j≤n+1，所以其他的Sij都是空集。
最优子结构为：假设Sij的最优解Aij包含活动ak，则对Sik的解Aik和Skj的解Akj必定是最优的。
通过一个活动ak将问题分成两个子问题，下面的公式可以计算出Sij的解Aij。
（2）一个递归解
设c[i][j]为Sij中最大兼容子集中的活动数目，当Sij为空集时，c[i][j]=0；当Sij非空时，若ak在Sij的最大兼容子集中被使用，则则问题Sik和Skj的最大兼容子集也被使用，故可得到c[i][j] = c[i][k]+c[k][j]+1。
当i≥j时，Sij必定为空集，否则Sij则需要根据上面提供的公式进行计算，如果找到一个ak，则Sij非空（此时满足fi≤sk且fk≤sj），找不到这样的ak，则Sij为空集。
c[i][j]的完整计算公式如下所示：
（3）最优解计算过程
根据递归公式，采用自底向下的策略进行计算c[i][j]，引入复杂数组ret[n][n]保存中间划分的k值。程序实现如下所示：
1 void dynamic_activity_selector(int *s,int *f,int c[N+1][N+1],int ret[N+1][N+1])
2 {
3 int i,j,k;
4 int temp;
5 //当i>=j时候，子问题的解为空，即c[i][j]=0
6 for(j=1;j<=N;j++)
7 for(i=j;i<=N;i++)
8 c[i][j] = 0;
9 //当i<j时，需要寻找子问题的最优解，找到一个k使得将问题分成两部分
10 for(j=2;j<=N;j++)
11 for(i=1;i<j;i++)
12 {
13 //寻找k，将问题分成两个子问题c[i][k]、c[k][j]
14 for(k=i+1;k<j;k++)
15 if(s[k] >= f[i] && f[k] <= s[j]) //判断k活动是否满足兼容性
16 {
17 temp = c[i][k]+c[k][j]+1;
18 if(c[i][j] < temp)
19 {
20 c[i][j] =temp;
21 ret[i][j] = k;
22 }
23 }
24 }
25 }
（4）构造一个最优解集合
根据第三保存的ret中的k值，递归调用输出获得集合。采用动态规划方法解决上面的例子，完整程序如下所示：
1 #include <stdio.h>
2 #include <stdlib.h>
3
4 #define N 11
5
6 void dynamic_activity_selector(int *s,int *f,int c[N+1][N+1],int ret[N+1][N+1]);
7 void trace_route(int ret[N+1][N+1],int i,int j);
8
9 int main()
10 {
11 int s[N+1] = {-1,1,3,0,5,3,5,6,8,8,2,12};
12 int f[N+1] = {-1,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14};
13 int c[N+1][N+1]={0};
14 int ret[N+1][N+1]={0};
15 int i,j;
16 dynamic_activity_selector(s,f,c,ret);
17 printf("c[i][j]的值如下所示：
");
18 for(i=1;i<=N;i++)
19 {
20 for(j=1;j<=N;j++)
21 printf("%d ",c[i][j]);
22 printf("
");
23 }
24 //包括第一个和最后一个元素
25 printf("最大子集的个数为: %d
",c[1][N]+2);
26 printf("ret[i][j]的值如下所示：
");
27 for(i=1;i<=N;i++)
28 {
29 for(j=1;j<=N;j++)
30 printf("%d ",ret[i][j]);
31 printf("
");
32 }
33 printf("最大子集为:{ a1 ");
34 trace_route(ret,1,N);
35 printf("a%d}
",N);
36 system("pause");
37 return 0;
38 }
39
40 void dynamic_activity_selector(int *s,int *f,int c[N+1][N+1],int ret[N+1][N+1])
41 {
42 int i,j,k;
43 int temp;
44 //当i>=j时候，子问题的解为空，即c[i][j]=0
45 for(j=1;j<=N;j++)
46 for(i=j;i<=N;i++)
47 c[i][j] = 0;
48 //当i>j时，需要寻找子问题的最优解，找到一个k使得将问题分成两部分
49 for(j=2;j<=N;j++)
50 for(i=1;i<j;i++)
51 {
52 //寻找k，将问题分成两个子问题c[i][k]、c[k][j]
53 for(k=i+1;k<j;k++)
54 if(s[k] >= f[i] && f[k] <= s[j]) //判断k活动是否满足兼容性
55 {
56 temp = c[i][k]+c[k][j]+1;
57 if(c[i][j] < temp)
58 {
59 c[i][j] =temp;
60 ret[i][j] = k;
61 }
62 }
63 }
64 }
65
66 void trace_route(int ret[N+1][N+1],int i,int j)
67 {
68 if(i<j)
69 {
70 trace_route(ret,i,ret[i][j]);
71 if(ret[i][j] != 0 )
72 printf("a%d ", ret[i][j]);
73 }
74 }
程序测试结果如下所示：
3、贪心算法解决过程
针对活动选择问题，认真分析可以得出以下定理：对于任意非空子问题Sij，设am是Sij中具有最早结束时间的活动，那么：
（1）活动am在Sij中的某最大兼容活动子集中被使用。
（2）子问题Sim为空，所以选择am将使子问题Smj为唯一可能非空的子问题。
有这个定理，就简化了问题，使得最优解中只使用一个子问题，在解决子问题Sij时，在Sij中选择最早结束时间的那个活动。
贪心算法自顶向下地解决每个问题，解决子问题Sij，先找到Sij中最早结束的活动am，然后将am添加到最优解活动集合中，再来解决子问题Smj。
基于这种思想可以采用递归和迭代进行实现。递归实现过程如下所示：
1 void recursive_activity_selector(int *s,int* f,int i,int n,int *ret)
2 {
3 int *ptmp = ret;
4 int m = i+1;
5 //在S
in
中寻找第一个结束的活动
6 while(m<=n && s[m] < f[i])
7 m = m+1;
8 if(m<=n)
9 {
10 *ptmp++ = m; //添加到结果中
11 recursive_activity_selector(s,f,m,n,ptmp);
12 }
13 }
迭代实现过程如下：
1 void greedy_activity_selector(int *s,int *f,int *ret)
2 {
3 int i,m;
4 *ret++ = 1;
5 i =1;
6 for(m=2;m<=N;m++)
7 if(s[m] >= f[i])
8 {
9 *ret++ = m;
10 i=m;
11 }
12 }
采用贪心算法实现上面的例子，完整代码如下所示：
View Code程序测试结果如下所示：
4、总结
活动选择问题分别采用动态规划和贪心算法进行分析并实现。动态规划的运行时间为O(n^3)，贪心算法的运行时间为O(n)。动态规划解决问题时全局最优解中一定包含某个局部最优解，但不一定包含前一个局部最优解，因此需要记录之前的所有最优解。贪心算法的主要思想就是对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择，产生一个局部最优解。