动态规划之最长公共子序列(LCS)

转自:http://segmentfault.com/blog/exploring/

LCS

问题描述

定义： 一个数列 S，如果分别是两个或多个已知数列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。 例如：输入两个字符串 BDCABA 和 ABCBDAB，字符串 BCBA 和 BDAB 都是是它们的最长公共子序列，则输出它们的长度 4，并打印任意一个子序列. （Note: 不要求连续）

判断字符串相似度的方法之一 - LCS 最长公共子序列越长，越相似。

July 10分钟讲LCS视频:http://www.julyedu.com/video/play/id/9

复杂度

对于一般性的 LCS 问题（即任意数量的序列）是属于 NP-hard。但当序列的数量确定时，问题可以使用动态规划（Dynamic Programming）在多项式时间解决。可达时间复杂度：O(m*n)

暴力方法

动态规划方法

最优子结构性质： 设序列  X=<x1, x2, …, xm> 和  Y=<y1, y2, …, yn> 的一个最长公共子序列  Z=<z1, z2, …, zk>，则：

1. 若  xm = yn，则 zk = xm = yn 则 Zk-1 是 Xm-1 和  Yn-1 的最长公共子序列；

    2. 若   xm ≠ yn， 要么Z是 Xm-1 和 Y 的最长公共子序列，要么 Z 是X和 Yn-1 的最长公共子序列。 2.1 若  xm ≠ yn 且  zk≠xm ，则  Z是 Xm-1 和 Y 的最长公共子序列； 2.2 若 xm ≠ yn 且 zk ≠yn ，则 Z 是X和 Yn-1 的最长公共子序列。 综合一下2 就是求二者的大者

递归结构：

递归结构容易看到最长公共子序列问题具有子问题重叠性质。例如，在计算 X 和 Y 的最长公共子序列时，可能要计算出 X 和 Yn-1 及 Xm-1 和 Y 的最长公共子序列。而这两个子问题都包含一个公共子问题，即计算 Xm-1 和 Yn-1 的最长公共子序列。

递归结构容易看到最长公共子序列问题具有子问题重叠性质。例如，在计算 X 和 Y 的最长公共子序列时，可能要计算出 X 和 Yn-1 及 Xm-1 和 Y 的最长公共子序列。而这两个子问题都包含一个公共子问题，即计算Xm-1 和 Yn-1 的最长公共子序列。

计算最优值： 子问题空间中，总共只有O(m*n) 个不同的子问题，因此，用动态规划算法自底向上地计算最优值能提高算法的效率。

长度表C 和 方向变量B：