算法题003 斐波那契（Fibonacci）数列

 

斐波那契（Fibonacci）数列

题目来源

　　斐波那契（Fibonacci）数列是经典的递推关系式定义的数列。

　　第一项是0，第二项是1，之后的每一项都是前面两项之和。

　　

　　POJ3070：http://poj.org/problem?id=3070

　　九度剑指Offer：http://ac.jobdu.com/problem.php?cid=1039&pid=3

 

递归的方法：低效

　　用递归的方法解斐波那契数列的第n项的值是很直观的做法，因为斐波那契数列的定义就是这种递推的形式。

//用递归的方法求解Fibonacci数列
int Fibonacci(int n)
{
    if(n <= 0)
    {
        return 0;
    }
    else if (n == 1)
    {
        return 1;
    }
    else
    {
        return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
    }

}

　　但是，递归的方法不是一种很好的解法，有很严重的效率问题。

　　比如，计算F[5]，需要计算F[4]和F[3]，而计算F[4]的时候又要计算F[3]，所以存在很多结点的重复计算。

　　像是一颗二叉树，父结点为左右结点之和，那么为了求根节点上的F[n]，就要求它的左右结点F[n-1]和 F[n-2]，而这两个结点的求法和根节点相同，这样扩展下去，当n较大时，计算量会急剧增大。

 

递推关系式的优化：保存数列中间项，避免重复计算

　　为了减少重复的计算，可以用一个数组储存所有已计算过的项。

　　这样便可以达到用空间换取时间的目的。

　　在这种情况下，时间复杂度为O(n)，而空间复杂度也为O(n)。

　　

　　这样做的好处在需要多次计算f(n)时更加有利。

　　比如已经计算过了f(100)，那么就表明f(100)之前的结果都已经计算出来并保存了，第二次想要计算f(50)时，直接查询即可得到。

　　代码如下，在九度上提交AC（http://ac.jobdu.com/problem.php?cid=1039&pid=3）。

　　

#include "stdafx.h"
#include <iostream>
using namespace std;

int Fibonacci(int n);

int main(int argc, char* argv[])
{
    int n = 0;

    long fibonacci[1000]; 
    int count = 0;//保存数列已经计算了多少


    //先设定起始条件
    fibonacci[0] = 0;
    fibonacci[1] = 1;
    count = 1;

    while(cin>>n)
    {

        //递归算法
        //cout << Fibonacci(n) << endl;


        //非递归算法
        //因为要多次计算f(n)，所以保存这个数列可进一步提高效率
        if(n > count)
        {
            for(int i = count + 1; i <= n; ++i)
            {
                fibonacci[i] = fibonacci[i-1] + fibonacci[i-2];
            }

            cout << fibonacci[n] << endl;

        }
        else
        {
            //如果n小于等于count，则表明f(n)已经计算出来并且存储在相应的位置上了
            cout << fibonacci[n] << endl;
        }


    }


    return 0;
}

//用递归的方法求解Fibonacci数列
int Fibonacci(int n)
{
    if(n <= 0)
    {
        return 0;
    }
    else if (n == 1)
    {
        return 1;
    }
    else
    {
        return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
    }

}

　　需要注意的是，开始的时候我用的是int类型数组，所以总是无法通过，因为测试用例的数字已经超过了整形的表示范围。

其他优化方法

　　《编程之美》中还提到了其他优化方法：

　　求解通项公式；

　　使用分治策略，求解矩阵的方幂。

 

参考资料

　　《剑指Offer》

　　《编程之美》

　　Online Judge:

　　POJ3070：http://poj.org/problem?id=3070

　　九度剑指Offer：http://ac.jobdu.com/problem.php?cid=1039&pid=3

　　相关解答博客：http://www.cnblogs.com/CCBB/archive/2009/04/25/1443441.html