浮点数的二进制表示

基础知识：

十进制转十六进制；

十六进制转二进制；

IEEE制定的浮点数表示规则；

了解：

眼下C/C++编译器标准都遵照IEEE制定的浮点数表示法来进行float,double运算。这样的结构是一种科学计数法，用符号、指数和尾数来表示，底数定为2——即把一个浮点数表示为尾数乘以2的指数次方再添上符号。以下是详细的规格：
             符号位     阶码      尾数     长度
float           1          8        23      32
double          1         11        52      64

 

下面通过几个样例解说浮点数怎样转换为二进制数

例一：

已知：double类型38414.4。

求：其相应的二进制表示。

分析：double类型共计64位，折合8字节。由最高到最低位各自是第63、62、61、……、0位：
    最高位63位是符号位，1表示该数为负，0表示该数为正；
    62-52位，一共11位是指数位；
    51-0位，一共52位是尾数位。

     步骤：依照IEEE浮点数表示法，以下先把38414.4转换为十六进制数。
     把整数部和小数部分开处理:整数部直接化十六进制：960E。小数的处理:
0.4=0.5*0+0.25*1+0.125*1+0.0625*0+……
     实际上这永远算不完！这就是著名的浮点数精度问题。所以直到加上前面的整数部分算够53位即可了。隐藏位技术：最高位的1不写入内存（终于保留下来的还是52位）。
    假设你够耐心，手工算到53位那么因该是：38414.4(10)=1001011000001110.0110011001100110011001100110011001100(2)

科学记数法为：1.0010110000011100110011001100110011001100110011001100，右移了15位，所以指数为15。或者能够例如以下理解：

1.001011000001110 0110011001100110011001100110011001100×2^15
     于是来看阶码，按IEEE标准一共11位，能够表示范围是-1024 ~ 1023。由于指数能够为负，为了便于计算，规定都先加上1023(2^10-1)，在这里，阶码：15+1023=1038。二进制表示为：100 00001110；
    符号位：由于38414.4为正相应 为0；
    合在一起（注：尾数二进制最高位的1不要）：
01000000 11100010 11000001 110 01100  11001100  11001100  11001100  11001100

 

例二：

已知：整数3490593(16进制表示为0x354321)。

求：其相应的浮点数3490593.0的二进制表示。 

解法例如以下：

先求出整数3490593的二进制表示：

 H:    3     5    4    3    2     1   （十六进制表示）

 B:   0011  0101 0100 0011 0010  0001 （二进制表示）

        │←─────  21────→│

 

即： 

               1.101010100001100100001₂×2²¹

可见，从左算起第一个1后有21位，我们将这21为作为浮点数的小数表示，单精度浮点数float由符号位1位，指数域位k=8位，小数域位(尾数)n=23位构成，因此对上面得到的21位小数位我们还须要补上2个0，得到浮点数的小数域表示为：

         1 0101 0100 0011 0010 0001 00

 

float类型的偏置量Bias=2^k-1-1=2^8-1-1=127，但还要补上刚才由于右移作为小数部分的21位，因此偏置量为127+21=148，就是IEEE浮点数表示标准：

                          V = (-1)^s×M×2^E

                    E = e-Bias

中的e，此前计算Bias=127，刚好验证了E=148-127=21。

 

将148转为二进制表示为10010100，加上符号位0，最后得到二进制浮点数表示1001010010101010000110010000100，其16进制表示为：

 H:     4        A       5          5         0         C         8        4  

 B:  0100   1010   0101    0101   0000   1100  1000   0100

                    |←────      21        ─────→   |

     1|←─8   ─→||←─────       23       ─────→ |

 

这就是浮点数3490593.0(0x4A550C84)的二进制表示。