华为机试 之 joseph环

一：首先科普一下约瑟夫问题的数学方法 

      (1)  不管是用list实现还是用vector实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比較烦，并且时间复杂度高达O(nm)，当n，m很大(比如上百万，上千万)的时候，差点儿是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题不过要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此假设要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。  

 (2) 为了讨论方便，先把问题略微改变一下，并不影响原意：  问题描写叙述：n个人（编号0~(n-1))，从0開始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0開始报数。求胜利者的编号。 我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人開始）:  k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2  而且从k開始报0。     如今我们把他们的编号做一下转换：  k --> 0  k+1 --> 1  k+2 --> 2  ...  ...  k-2 --> n-2  k-1 --> n-1  变换后就完全然全成为了(n-1)个人报数的子问题。

（3）假如我们知道这个子问题的解：比如x是终于的胜利者，那么依据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！变回去的公式非常easy，相信大家都能够推出来：x'=(x+k)%n  怎样知道(n-1)个人报数的问题的解？对，仅仅要知道(n-2)个人的解即可了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，以下写递推公式： 

 令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]  ；递推公式 ； f[1]=0;  f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)  

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。由于实际生活中编号总是从1開始，我们输出f[n]+1  由于是逐级递推，不须要保存每一个f[i]，程序也是异常简单。

二：原题再现：

（1）The Joseph's problem is notoriously known. For those who are not familiar with the original problem: from among n people, numbered 1, 2, . . ., n, standing in circle every mth is going to be executed and only the life of the last remaining person will be saved. Joseph was smart enough to choose the position of the last remaining person, thus saving his life to give us the message about the incident. For example when n = 6 and m = 5 then the people will be executed in the order 5, 4, 6, 2, 3 and 1 will be saved. 

       Suppose that there are k good guys and k bad guys. In the circle the first k are good guys and the last k bad guys. You have to determine such minimal m that all the bad guys will be executed before the first good guy. 

（2）分析：本题是约瑟夫环变形 先引入Joseph递推公式，设有n个人（0,...,n-1），数m，则第i轮出局的人为f(i)=(f(i-1)+m-1)%(n-i+1),f(0)=0; f(i) 表示当前子序列中要退出的那个人（当前序列编号为0~(n-i));
拿个样例说：K=4,M=30;
f(0)=0;
f(1)=(f(0)+30-1)%8=5; 序列（0,1,2,3,4,5,6,7）中的5
f(2)=(f(1)+30-1)%7=6; 序列（0,1,2,3,4,6,7）中的7
f(3)=(f(2)+30-1)%6=5; 序列（0,1,2,3,4,6）中的6
f(4)=(f(3)+30-1)%5=4; 序列（0,1,2,3,4）中的4
........

根据题意，前K个退出的人必然是后K个人，所以仅仅要前k轮中仅仅要有一次f(i)<k则此m不符合题意。
接下来说说m的取值范围：我们考察一下仅仅剩下k+1个人时候情况，即坏人另一个未被处决，那么在这一轮中结束位置必然在最后一个坏人，那么開始位置在哪呢？这就须要找K+2个人的结束位置，然而K+2个人的结束位置必然是第K+2个人或者第K+1个人，这样就出现两种顺序情况：GGGG.....GGGXB 或  GGGG......GGGBX (X表示有K+2个人的那一轮退出的人）所以有K+1个人的那一轮的開始位置有两种可能即第一个位置或K+1的那个位置，限定m有两种可能：t(k+1) 或 t(k+1)+1; t>=1; 若遍历每个m必然超时，避免超时则须要打表和限制m的范围。

（3） 代码例如以下：

using namespace std;
const int MAX_SIZE = 14;

int main(void)
{
	int joseph[MAX_SIZE]={0};  //打表，保存各个k值相应的m值

	int k;
	int i;
	while(cin>>k)
	{
		if(0 == k)
			break;
		if(joseph[k])// 此k值已经求过直接打印，并下一次循环
		{
			cout<<joseph[k]<<endl;
			continue;
		}

		int n=2*k;  //总人数
		int ans[30]={0};  //第i轮杀掉 相应当前轮的编号为ans[i]的人
		                  //PS:每一轮都以报数为“1”的人開始又一次编号
                        // 比如ans[1] = 3 表示第一次把下标为3的人杀掉（事实上是第四个人）
		int m=k+1;    //所求的最少的报数,从k+1開始，由于
        for(i=1;i<=k;i++)
        {
            ans[i] = (ans[i-1]+m-1)%(n-i+1);
            //cout << ans[i] << ",";// 杀人的原始数组的下标，也相当于erase过程，由于要迁移
            //假设应用vector的vec[i],vec.erase(iter)就能够实现杀人顺序
            if(ans[i] < k)// 不符合杀人条件
            {
                i = 0;
                m++;// m加一，从i=1再次杀人
            }
        }
        joseph[k] = m;
        cout << joseph[k] << endl;
	}
	return 0;
}//poj 1012

三：问题延伸：（更简单的问题）

（1）有N个小孩围成一圈，给他们从1開始依次编号，现指定从第W个開始报数，报到第S个时，该小孩出列，然后从下一个小孩開始报数，仍是报到S个出列，如此反复下去，直到全部的小孩都出列（总人数不足S个时将循环报数），求小孩出列的顺序。

第一行输入小孩的人数N（N<=64） 
接下来每行输入一个小孩的名字(人名不超过15个字符) 
最后一行输入W,S (W < N)，用逗号","间隔

（2）poj 3750的代码，用list和vector分别实现：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;
const int MAX_SIZE = 20;

int main()
{
    int n,w,s;
    int i,cp;
    char str[MAX_SIZE];
    vector<string> vec;
    scanf("%d",&n);
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        cin >> str;
        vec.push_back(str);
    }
    scanf("%d,%d",&w,&s);
    vector<string>::iterator iter;
    cp = 1;
    for(iter=vec.begin()+w-1; vec.begin()!=vec.end();)
    {
        cp++;
        if(iter == vec.end())
            iter = vec.begin();
        if(cp<=s)
        {
            iter++;
        }
        else
        {
            cout << *iter << endl;
            iter = vec.erase(iter);
            //iter++;// 由于删除iter,自己主动指向下一个元素的;
            cp = 1;
        }
    }

    return 0;
}//poj 3750
*/

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <list>
using namespace std;
const int MAX_SIZE = 20;

int main()
{
    int n,w,s;
    int i,cp;
    char str[MAX_SIZE];
    list<string> lists;
    scanf("%d",&n);
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        cin >> str;
        lists.push_back(str);
    }
    scanf("%d,%d",&w,&s);
    list<string>::iterator iter;
	iter = lists.begin();
	while(w>1)
	{
		iter++;
		w--;
	}
	cp = 1;
    for(; lists.size()!=0;)
    {
        cp++;
        if(iter == lists.end())
            iter = lists.begin();
        if(cp<=s)
        {
            iter++;
        }
        else
        {
            cout << *iter << endl;
            iter = lists.erase(iter);// 由于删除iter,自己主动返回下一个元素的,vector也是一样;否则ter成为野指针
            cp = 1;
        }
    }
    return 0;
}//poj 3750